Lie-Klammer
Die Lie-Klammer ist ein Objekt aus der Mathematik, insbesondere aus dem Bereich der Algebra und der Differentialgeometrie. Die Lie-Klammer ist die multiplikative Verknüpfung in einer Lie-Algebra, also eine Art Multiplikation auf einer Menge mit einer besonderen algebraischen Struktur. Beispiele für eine solche Verknüpfung sind die triviale Lie-Klammer, der Matrix-Kommutator, das Kreuzprodukt oder die Poisson-Klammer. Benannt sind die Lie-Klammer und die Lie-Algebra nach dem Mathematiker Sophus Lie.
Definition
Sei <math>V</math> ein Vektorraum über dem Körper <math>K</math>. Eine innere Verknüpfung
- <math>[\cdot,\cdot]\colon V \times V \rightarrow V,\quad (x,y)\mapsto [x,y],</math>
heißt Lie-Klammer, falls sie die folgenden drei Eigenschaften besitzt:<ref name=Humphreys4>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
- <math>[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z]</math>
- und
- <math>[z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y]</math>
- für alle <math>a, b\in K</math> und alle <math>x, y, z \in V</math>.
- Es gilt <math>[x, x] = 0</math> für alle <math>x\in V</math>.
- Sie genügt der Jacobi-Identität, das heißt, es gilt
- <math> [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0</math>
- für alle <math>x,y,z\in V</math>.
Ein Vektorraum zusammen mit einer Lie-Klammer wird Lie-Algebra genannt.
Eigenschaften
Antisymmetrie
Aus der ersten und der zweiten Eigenschaft der Definition folgt die Antisymmetrie der Lie-Klammer, das heißt <math>[x, y] = -[y, x]</math> für alle <math>x, y \in V</math>. Hat der Körper <math>K</math> nicht die Charakteristik <math>2</math>, so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die Eigenschaft <math>[x, x] = 0</math> herleiten. Dazu setzt man <math>y=x</math>.<ref name=Humphreys4 />
Flexibilität
Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht assoziativ, das heißt, der Term <math>[[x,y],z]</math> muss nicht gleich dem Term <math>[x,[y,z]]</math> sein. Jedoch erfüllt die Lie-Klammer das Flexibilitätsgesetz, es gilt also <math>[[x,y],x] = [x,[y,x]]</math> für alle Elemente <math>x, y \in V</math>.
Beispiele
Triviale Lie-Klammer
Ist <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum und sind <math>a</math> und <math>b</math> zwei Elemente des Raums, dann kann durch
- <math>[a,b] := 0</math>
immer eine Lie-Klammer definiert werden. Vektorräume mit einer trivialen Lie-Klammer werden auch als abelsche Lie-Algebren bezeichnet.
Matrix-Kommutator
Seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei <math>n \times n</math>-Matrizen mit Einträgen in einem Körper <math>K</math> (zum Beispiel dem Körper <math>\R</math> der reellen oder dem Körper <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen). Der Kommutator <math>[\cdot, \cdot ]</math> für quadratische Matrizen ist definiert durch
- <math>[A,B] := A \cdot B - B \cdot A</math>,
wobei mit <math>\cdot</math> die Matrixmultiplikation bezeichnet wird. Für <math>\lambda , \mu \in K</math> gelten für den Kommutator die Rechenregeln
- <math>\begin{align} \left[\lambda A + \mu B,C \right] &= (\lambda A + \mu B) \cdot C - C \cdot (\lambda A + \mu B)\\
&= \lambda (A\cdot C - C\cdot A) + \mu (B\cdot C-C\cdot B)\\ &= \lambda[A,C] + \mu[B,C]\,,\end{align}</math>
- <math>[A,A] = A \cdot A - A \cdot A = 0 </math> und
- <math> \begin{align}
\left[A,[B,C]\right]+\left[B,[C,A]\right]+\left[C,[A,B]\right] =& [A, B\cdot C-C\cdot B] + [B,C\cdot A-A\cdot C] + [C,A\cdot B-B\cdot A]\\ =& A\cdot (B\cdot C - C\cdot B) - (B\cdot C-C\cdot B) \cdot A + B\cdot (C\cdot A - A\cdot C)\\ &- (C\cdot A - A\cdot C) \cdot B + C \cdot (A\cdot B-B\cdot A) - (A\cdot B-B\cdot A) \cdot C\\ =&0\,. \end{align}</math>
Daher ist der Kommutator auf dem Raum der <math>n \times n</math>-Matrizen eine Lie-Klammer.
Als konkretes Beispiel werden nun noch die Pauli-Matrizen
- <math>
\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad
\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix},\quad
\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} </math> über dem Körper <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen betrachtet. Bildet man den Kommutator von <math>\sigma_1</math> und <math>\sigma_3</math>, so gilt
- <math>\begin{align}
\left[\sigma_1 , \sigma_3\right] &= \sigma_1 \cdot \sigma_3 - \sigma_3 \cdot \sigma_1\\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} -
\begin{pmatrix}
0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= -2 \mathrm i \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix}\\ &= -2 \mathrm i \,\sigma_2\,. \end{align}</math>
Kreuzprodukt
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|{{#if: |{{#ifexist:{{{2}}}|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}|
|}}|}}|}}|}}|}}|Einbindungsfehler: Die Vorlage Hauptartikel benötigt immer mindestens ein Argument.}}
Für <math>a , b \in \R^3</math> ist das Kreuzprodukt
- <math>
a\times b
=
\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}
:=
\begin{pmatrix}
a_2b_3 - a_3b_2 \\
a_3b_1 - a_1b_3 \\
a_1b_2 - a_2b_1
\end{pmatrix}
</math> eine Lie-Klammer. Im Vergleich zu den Beispielen zuvor wird diese Multiplikation normalerweise nicht mit Klammern notiert. Die Bilinearität und die Identität <math>a \times a = 0</math> können direkt an der Definition abgelesen werden. Um die Jacobi-Identität zu erkennen, muss der Term
- <math>a \times \left(b \times c\right) + b \times \left( c \times a\right) +c\times \left(a \times b\right)</math>
komponentenweise ausgerechnet werden.
Lie-Klammer von Vektorfeldern
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|{{#if: |{{#ifexist:{{{2}}}|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}|
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Seien <math>X</math> und <math>Y</math> zwei Vektorfelder auf der <math>n</math>-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit <math>M</math>. Die Lie-Ableitung ist dann definiert durch
- <math>(\mathcal{L}_X Y) f = X(Y(f)) - Y (X (f))</math>.
Dieser Operator <math>(X,Y) \mapsto \mathcal{L}_X Y</math> erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer. Daher schreibt man auch <math>[X,Y] := \mathcal{L}_X Y</math>.<ref>R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 278–279.</ref>
Jacobi-Klammer
Seien <math>A</math> ein kommutativer Ring, <math>B</math> eine kommutative Algebra über <math>A</math> und <math>\delta_1, \delta_2 \in \operatorname{Der}(B)</math> zwei Derivationen von <math>B</math>. Dann ist die durch
- <math>[\delta_1, \delta_2] := \delta_1 \delta_2 - \delta_2 \delta_1</math>
definierte Operation eine Lie-Klammer auf dem Raum der Derivationen. Sie wird Jacobi-Klammer genannt. Da die Vektorfelder aus dem vorigen Beispiel spezielle Derivationen sind und ihre Lie-Klammer entsprechend definiert ist, ist Lie-Klammer von Vektorfeldern ein konkretes Beispiel für eine Jacobi-Klammer.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Poisson-Klammer
{{#if: Poisson-Klammer|{{#ifexist:Poisson-Klammer|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{2}}}|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}|
|}}|}}|}}|}}|}}|Einbindungsfehler: Die Vorlage Hauptartikel benötigt immer mindestens ein Argument.}}
Die Poisson-Klammer <math>\{\cdot , \cdot \}</math> ist eine zweistellige Operation, die auf der Algebra der glatten Funktionen operiert. Sie erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer und darüber hinaus noch die Produktregel
- <math>\{fg,h\}=f\{g,h\} + \{f,h\}g</math>
für alle glatten Funktionen <math>f</math>, <math>g</math> und <math>h</math>. Oftmals werden Poisson-Klammern auf Funktionen angewandt, die von einer glatten Mannigfaltigkeit in die reellen Zahlen abbilden. Solche Mannigfaltigkeiten mit festgelegter Poisson-Klammer werden Poisson-Mannigfaltigkeiten genannt. Beispielsweise kann jede symplektische Mannigfaltigkeit auf natürliche Weise mit einer Poisson-Klammer versehen werden. In lokalen Koordinaten <math>(q_1, \ldots , q_n,p_1, \ldots , p_n)</math> hat die Poisson-Klammer die Darstellung
- <math>\{f,g\} = \sum_{i=1}^{n} \left(
\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}\right) </math>.
Einzelnachweise
<references />