Algebra über einem kommutativen Ring

Als Algebra über einem kommutativen Ring oder <math>R</math>-Algebra (wobei <math>R</math> ein kommutativer Ring ist) bezeichnet man eine algebraische Struktur, die aus einem Modul über einem kommutativen Ring und einer zusätzlichen, mit der Modulstruktur verträglichen (Algebra-)Multiplikation besteht. Insbesondere ist eine Algebra über einem kommutativen Ring eine Verallgemeinerung der Algebra über einem Körper.

Allgemeine Definition

Sei <math>R</math> ein kommutativer Ring, <math>A</math> ein <math>R</math>-Modul und

<math>\cdot\,\colon R\times A\to A</math>

eine zweistellige Verknüpfung auf <math>A</math>, genannt „Multiplikation“.

Das Paar <math>(A,\cdot)</math> heißt „<math>R</math>-Algebra“, wenn die Multiplikation <math>\cdot</math> bilinear ist, d. h. für alle Algebraelemente <math>x,y,z\in A</math> und jedes Ringelement <math>\lambda\in R</math> gilt:

<math> (x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z, </math>
<math> x\cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z, </math>
<math> \lambda(x\cdot y) = (\lambda x)\cdot y = x\cdot (\lambda y). </math>

Hier ist zunächst weder Assoziativität noch Kommutativität noch die Existenz eines neutralen Elementes der Algebra-Multiplikation vorausgesetzt. Wird Assoziativität hinzugefügt, handelt es sich um eine assoziative Algebra.

Algebrenhomomorphismus

Ein <math>R</math>-Algebrenhomomorphismus <math>\varphi</math> von <math>(A,\cdot)</math> nach <math>(B,\cdot)</math> ist ein R-Modulhomomorphismus von <math>A</math> nach <math>B</math>, für den zusätzlich gilt, dass <math>\varphi(a\cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)</math> für alle <math>a,b\in A</math> ist.

Spezielle Definition

Sei <math>R</math> ein kommutativer Ring. Unter einer <math>R</math>-Algebra versteht man einen Ring <math>A</math> zusammen mit einem Ringhomomorphismus <math> \varphi\colon R \to A</math> derart, dass alle Elemente von <math>\varphi (R)</math> mit den Elementen aus <math>A</math> vertauschbar sind: <math>\forall r \in R, a \in A : \varphi (r)a=a \varphi (r)</math>

Eine Algebra <math>(A,\varphi)</math> bezeichnet man in der Regel einfach mit <math>A</math>. Man unterdrückt also den sogenannten Strukturhomomorphismus <math>\varphi</math> in der Notation. Hierbei wird dann <math>r\cdot a</math> statt <math>\varphi (r) a</math> geschrieben, sodass der Strukturhomomorphismus durch <math> \varphi\colon R \to A</math>, <math> r \mapsto r \cdot 1_A </math> gegeben ist. Sofern dieser jedoch nicht injektiv ist, ist es nicht möglich, die Elemente <math>r\in R</math> mit ihren Bildern <math>r \cdot 1_A \in A</math> zu „identifizieren“.

Eigenschaften

Jede so definierte <math>R</math>-Algebra kann als <math>R</math>-Algebra gemäß der allgemeinen Definition aufgefasst werden, indem man die Skalarmultiplikation als <math>\lambda a :=\alpha(\lambda)\cdot a</math> setzt. Dagegen lässt sich nicht jede <math>R</math>-Algebra gemäß der allgemeinen Definition auf eine gemäß der speziellen zurückführen.
Ferner kann jede so definierte <math>R</math>-Algebra auch als <math>R</math>-Bimodul aufgefasst werden vermöge <math>r\cdot a\cdot r':=\alpha(r)\cdot a\cdot\alpha(r')</math>.

Weitere Definitionen

Eine <math>R</math>-Algebra heißt endlich, wenn sie aufgefasst als <math>R</math>-Modul endlich erzeugt ist. Es sei darauf hingewiesen, dass dies – im Gegensatz zur Verwendung des Wortes „endlich“ für Mengen oder auch für Gruppen oder Körper – nicht bedeutet, dass die zugrundeliegende Menge endlich ist.
Eine <math>R</math>-Algebra <math>A</math> heißt endlich erzeugt, wenn es für ein <math>n\geq0</math> einen surjektiven Algebrenhomomorphismus <math>R[X_1,\ldots,X_n]\longrightarrow A</math> gibt.

Algebrenhomomorphismus

Zu dieser speziellen Definition einer R-Algebra definiert man einen <math>R</math>-Algebrenhomomorphismus <math>\varphi</math> von <math>(A,\alpha)</math> nach <math>(B,\beta)</math> als einen Ringhomomorphismus von <math>A</math> nach <math>B</math>, für den zusätzlich gilt, dass <math>\varphi\circ\alpha=\beta</math> ist.

Beispiele

Jeder Ring ist eine <math>\mathbb{Z}</math>-Algebra, also eine Algebra über dem kommutativen Ring <math>\mathbb{Z}</math> der ganzen Zahlen.
Jeder kommutative Ring ist eine Algebra über sich selbst.
Für einen kommutativen Ring <math>R</math>, der nicht der Nullring ist, ist der Polynomring <math>R[X]</math> eine endlich erzeugte, aber keine endliche <math>R</math>-Algebra.

Literatur

Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Band 211). 3. Auflage. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X.
Michael Francis Atiyah, Ian Macdonald: Introduction to Commutative Algebra (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Westview Press, University of Oxford 1969, ISBN 978-0-201-40751-8.
Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 6. Auflage. Springer, 2021, ISBN 978-3-662-62615-3.