Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer, benannt nach Siméon Denis Poisson, ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist ein Beispiel für eine Lie-Klammer, also für eine Multiplikation in einer Lie-Algebra.

Definition

Die Poisson-Klammer ist definiert als

<math>\left \{ f,g \right \} := \sum_{k=1}^{s}{\left ( \frac{\partial f}{\partial q_k} \frac{\partial g}{\partial p_k} - \frac{\partial f}{\partial p_k} \frac{\partial g}{\partial q_k} \right )}</math>

mit

<math>f</math> und <math>g</math> Funktionen der generalisierten Koordinaten <math>q_k</math> und der kanonisch konjugierten Impulse <math>p_k</math>
<math>s</math> Anzahl der Freiheitsgrade.

Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen <math>F</math> und <math>G</math> definiert werden, die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhängen. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben:

<math>\{F,G\}_{ab}:=\sum^s_{k=1}\left(\frac{\partial F}{\partial a_k}\frac{\partial G}{\partial b_k}-\frac{\partial F}{\partial b_k}\frac{\partial G}{\partial a_k}\right)</math>.

Man sagt <math>F</math> und <math>G</math> Poisson-kommutieren, wenn die Poisson-Klammer verschwindet (<math>\{F,G\}=0</math>). <math>F</math> und <math>G</math> stehen dann auch in Involution, weil die Größen, die durch diese Funktionen beschrieben werden, unabhängig voneinander sind und sich in ihrer Entwicklung nicht gegenseitig beeinflussen. Eine Funktion <math>F</math>, die mit der Hamilton-Funktion <math>H</math> Poisson-kommutiert, ist eine Erhaltungsgröße.

Eigenschaften

Bilinearität

Antisymmetrie

<math>\{f,g\}=-\{g,f\}</math>, insbesondere <math>\{f,f\}=0</math>

Produktregel

Jacobi-Identität

Invarianz unter kanonischen Transformationen

Physikalisch liegt es nahe, anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte; damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien <math>(\mathbf{q},\mathbf{p})</math> und <math>(\mathbf{Q},\mathbf{P})</math> zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen ineinander übergehen, so gilt:

<math>\{f,g\}_{\mathbf{qp}}=\{f,g\}_{\mathbf{QP}}=\{f,g\}</math>.

Fundamentale Poisson-Klammern

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern

<math>\left \{ q_k, q_l \right \} = 0</math>

<math>\left \{ p_k, p_l \right \} = 0</math>

<math>\left \{ q_k, p_l \right \} = \delta_{kl}</math> (Kronecker-Delta)

Sie folgen aus den trivialen Beziehungen

<math>\begin{alignat}{2}

& \frac{\partial q_k}{\partial q_l} = \delta_{kl} \quad && \frac{\partial p_k}{\partial q_l} = 0\\ & \frac{\partial q_k}{\partial p_l} = 0 \quad && \frac{\partial p_k}{\partial p_l} = \delta_{kl} \end{alignat}</math>

Anwendung

Mithilfe der Poisson-Klammer kann die Zeitevolution einer beliebigen Observablen <math>f(q_k,p_k,t)</math> eines Hamiltonschen Systems <math>H(q_k,p_k)</math> ausgedrückt werden (Hamiltonsche Bewegungsgleichungen):

<math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \{f,H\} +\frac{\partial f}{\partial t}</math>.

Dual zur Bewegungsgleichung der Observablen ist die Liouville-Gleichung, die die Dynamik der Verteilungsdichte in der statistischen Mechanik beschreibt:

In der Quantenmechanik wird im Rahmen der kanonischen Quantisierung die Poisson-Klammer ersetzt durch <math>\textstyle \left(-\fracVorlage:\rm i{\hbar}\right)</math> multipliziert mit dem Kommutator:<ref>Hong-Tao Zhang: A Simple Method of Calculating Commutators in Hamilton System with Mathematica Software, Vorlage:ArXiv</ref>

<math>\{H,f\}\rightarrow-\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{f}]</math>

Außerdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator <math>\hat{H}</math> im Heisenberg-Bild. Diese Bewegungsgleichung heißt Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung.

Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie-Algebra.

Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit symplektischer Form, die in lokalen Koordinaten gegeben ist durch <math>\textstyle \omega=\sum_{ij}\omega_{ij}\,\mathrm dx^i\wedge\mathrm d x^j</math>, die Poisson-Klammer der Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> durch:

<math>\{f, g\} = \sum_{ij}\omega^{ij}\,\partial_i f\, \partial_j g\,.</math>

Koordinatenunabhängig lässt sich die Poisson-Klammer wie folgt darstellen: es sei <math>J: T^*M \rightarrow TM</math> der durch <math>J^{-1}(v)(w) = \omega(v, w)</math> beschriebene Isomorphismus. Weiter sei für eine Funktion <math>f</math> das Vektorfeld <math>X_f</math> definiert als <math>J(\mathrm d f)</math>. Damit gilt dann

<math>\{f, g\} = \omega(X_f, X_g).</math>

Weblinks

{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Poisson Bracket. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}

Einzelnachweise

Vorlage:Navigationsleiste Symplektische Topologie