Generalisierter Impuls

Der generalisierte Impuls, auch verallgemeinerter, kanonischer, kanonisch konjugierter, oder konjugierter Impuls, tritt sowohl in der Hamiltonschen Mechanik als auch in der Lagrange-Mechanik auf. Zusammen mit dem konjugierten Ort kennzeichnet er den jeweiligen Zustand des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ändert.

Als Funktion des Ortes <math>q</math> und der Geschwindigkeit <math>\dot q</math> ist der generalisierte Impuls die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion <math>L</math> nach der Geschwindigkeit:

<math>p_{j} = {\fracVorlage:\partial L Vorlage:\partial \dot q j} \, , \ j = 1 \ldots n</math>

Beim Übergang von der klassischen Physik zur Quantenmechanik wird der kanonische Impuls (im Gegensatz zum kinetischen Impuls) durch den Impulsoperator <math>\hat p</math> ersetzt:

<math>p_j\rightarrow \hat p_j = -\hbar i \frac{\partial}{\partial x_j}</math>

Beispiele

Klassische Bewegung

Bei Bewegung eines Teilchens der Masse <math>m</math> in einem Potential <math>V(\mathbf{x},t)</math> ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

<math> L = \frac{1}{2} \, m \, \dot{\mathbf{x}}^2 - V(\mathbf{x},t)</math>

ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:

<math>\mathbf p = m \dot{\mathbf x}</math>

Bei Bewegung eines Teilchens der Masse <math>m</math> in einem Potential <math>V(r,\varphi,z,t)</math> in Zylinderkoordinaten

<math> L = \frac 1 2\, m \bigl(\dot r^2 + r^2 \dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2 \bigr) - V(r,\varphi,z,t)</math>

ist der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Zylinderachse:

<math>p_{\dot{\varphi}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = m \, r^2 \dot{\varphi}</math>

Bei Bewegung einer Punktladung <math>q</math> mit Masse <math>m</math> im elektromagnetischen Feld (<math>\phi</math> ist das elektrische Potential)

<math>L = \frac{1}{2} \, m \, \dot{\mathbf x}^2 - q \, \phi(t, \mathbf x) + q \, \dot{\mathbf x} \cdot \mathbf A(t, \mathbf x)</math>

hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential <math>\mathbf A</math> des Feldes:

<math>\mathbf p = m \, \dot{\mathbf x} + q \, \mathbf A(t,\mathbf x)</math>

Relativistische Bewegung

Bei der relativistischen Bewegung eines Teilchens der Masse <math>m_0</math> in einem Potential <math>V(\mathbf{x},t)</math> ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

<math>L = -m_0 \, c^{2}\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}} - V(\mathbf{x},t)</math>

ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:

<math>\mathbf{p} = \frac{m_0 \, \dot{\mathbf{x}}}{\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}}</math>

Bei relativistischer Bewegung einer Punktladung <math>q</math> mit der Masse <math>m_0</math> im elektromagnetischen Feld

<math> L = -m_0 \, c^{2}\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}} - q \, \phi(t, \mathbf x) + q \, \dot{\mathbf x} \cdot \mathbf A(t, \mathbf x)</math>

hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes:

<math>\mathbf{p} = \frac{m_0 \, \dot{\mathbf{x}}}{\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}} + q \, \mathbf{A}(\mathbf{x},t)</math>

Literatur

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