Magnetisches Vektorpotential

Physikalische Größe
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Das magnetische Vektorpotential <math>\vec A</math>, oft abgekürzt nur als Vektorpotential bezeichnet, ist in der klassischen Elektrodynamik ein Vektorfeld, dessen Rotation die magnetische Flussdichte <math>\vec B(\vec r)</math> ergibt:

<math> \nabla \times \vec A(\vec r) = \vec B (\vec r)</math>.

Historisch wurde es als mathematisches Hilfsmittel entwickelt, um die magnetische Flussdichte leichter zu beschreiben. Es lässt sich u. a. auch dazu verwenden, die zur Beschreibung des elektromagnetischen Felds verwendeten Maxwell-Gleichungen zu entkoppeln und dadurch leichter lösbar zu machen.

Obwohl es zunächst nur als mathematisches Hilfsmittel eingeführt wurde, kommt ihm in der Quantenmechanik physikalische Realität zu, wie das Aharonov-Bohm-Experiment zeigt.

Das magnetische Vektorpotential hat die SI-Einheit <math>[A] = \mathrm{T\cdot m}=\mathrm{\frac{V\,s}{m}}</math>.

Definition

Das magnetische Vektorpotential <math>\vec A(\vec r, t)</math> ist ein Vektorfeld, das zusammen mit dem elektrischen Potential <math>\Phi (\vec r, t)</math> durch die Gleichungen

<math>\vec B = \nabla \times \vec A(\vec r, t) \qquad \vec E = - \nabla \Phi (\vec r, t) - \frac{\partial \vec A (\vec r, t)}{\partial t}</math>

definiert ist. <math>\vec B</math> steht für die magnetische Flussdichte, <math>\vec E</math> für das elektrische Feld. In der Magnetostatik ist das magnetische Vektorpotential <math>\vec A(\vec r)</math> nicht zeitabhängig. Es ist deshalb vollständig durch die erste Gleichung unabhängig vom elektrischen Potential definiert.

<math>\vec B = \nabla \times \vec A (\vec r)</math>

Das magnetische Vektorpotential ist eine Anwendung des rein mathematischen Vektorpotentials.

Berechnung

Magnetostatik

In der Magnetostatik erfüllt das Vektorpotential die Poisson-Gleichung (mit der Vakuumpermeabilität <math>\mu_0</math>):

<math> \nabla^2 \vec A(\vec r) = - \mu_0 \vec {j}</math>.

Diese Differentialgleichung kann mit einer Faltung (siehe Greensche Funktion) gelöst werden, um das magnetische Vektorpotential zu erhalten:

<math> \vec A(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec{j}(\vec{r}')}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}\mathrm{d}^3r'\,,</math>

Diese Beziehung gilt nur, wenn die Stromdichte <math>\vec j</math> im Unendlichen verschwindet und dabei mindestens so schnell wie <math>1/r</math> gegen null geht.

Elektrodynamik

In der Elektrodynamik erweitert sich die Poisson-Gleichung zur (inhomogenen) Wellengleichung für das Vektorpotential

<math> \Box \vec A(\vec r,t) = \frac{1}{c^2} \partial_t^2 \vec A(\vec r,t) - \nabla^2 \vec A(\vec r,t) = \mu_0 \vec {j}</math>,

wobei <math>\Box</math> der D’Alembert-Operator ist.

Die inhomogenen Lösungen dieser Gleichung sind das retardierte bzw. avancierte Vektorpotential

<math> \vec A(\vec r ,t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec{j}(\vec{r}', t')}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}\mathrm{d}^3r'</math>, mit <math>t'=t \mp \frac{|\vec r -\vec r'|}{c}</math>.

Eigenschaften

Erfüllung der Maxwell-Gleichungen

Weil die Divergenz einer Rotation immer Null ist, gilt

<math>\begin{align}

  \nabla \cdot \mathbf{B} &= \nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf{A}\right) = 0 \\
 \nabla \times \mathbf{E} &= \nabla \times \left( -\nabla\phi - \frac{ \partial\mathbf{A} }{ \partial t } \right) = -\frac{ \partial }{ \partial t } \left(\nabla \times \mathbf{A}\right) = -\frac{ \partial \mathbf{B} }{ \partial t }.

\end{align}</math>

Die Definition sorgt so dafür, dass Induktionsgesetz und das Gaußsches Gesetz für Magnetfelder, also zwei der Maxwell-Gleichungen, automatisch erfüllt sind.

Nicht konservativ

Das magnetische Vektorpotential ist als Vektorfeld außerdem nicht konservativ. Andernfalls wäre es durch den Gradienten eines skalaren Feldes <math>\alpha</math> darstellbar und es würde gelten:

<math> \vec B(\vec r) = \nabla \times \vec A(\vec r) = \nabla \times \nabla \alpha \equiv 0\,\,.</math>

Zusammenhang zwischen Skalar- und Vektorpotential

Gemäß dem helmholtzschen Theorem kann (fast) jedes Vektorfeld <math>\vec K(\vec r)</math> als Superposition zweier Komponenten <math>\vec F(\vec r)</math> und <math>\vec G(\vec r)</math> aufgefasst werden, deren erste der Gradient eines Skalarpotentials <math>\Phi(\vec r)</math> ist, die zweite dagegen die Rotation eines Vektorpotentials <math>\vec\Gamma(\vec r)</math>:

<math>\vec K(\vec r) = \vec F(\vec r) + \vec G(\vec r) = \operatorname{grad}\,\Phi(\vec r) + \operatorname{rot}\,\vec \Gamma(\vec r) = \nabla\Phi(\vec r) + \nabla \times\vec \Gamma(\vec r)</math>

Ist <math>\vec F(\vec r)\,</math> ein konservatives Kraftfeld, in dem die Kraft <math>\vec F\,</math> dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials <math>\Phi\ </math> entgegengerichtet ist, gilt alternativ die Schreibweise

<math>\vec K(\vec r) = \vec F(\vec r) + \vec G(\vec r) = -\operatorname{grad}\,\Phi(\vec r) + \operatorname{rot}\,\vec \Gamma(\vec r) = -\nabla\Phi(\vec r) + \nabla \times\vec \Gamma(\vec r).</math>

Viererpotential

Skalares Potential und Vektorpotential werden in der Relativitätstheorie und der Quantenelektrodynamik zum Viererpotential

<math>A^{\mu} = \left(\Phi/c, \vec A\right)</math>

zusammengefasst.

Eichungen

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|}}|}}|}}|}}|}}|Einbindungsfehler: Die Vorlage Hauptartikel benötigt immer mindestens ein Argument.}}Das Vektorpotential ist nur bis auf ein Gradientenfeld bestimmt, weil die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet. Für jede skalare Funktion <math>\chi (\vec r , t)</math> gilt also

<math>\begin{align}

 \vec A(\vec r , t)' &= \vec A(\vec r , t)+ \nabla \chi (\vec r ,t)\\
 \Rightarrow\;\; \vec B(\vec r , t)' &=  \nabla \times \vec A(\vec r , t)'= \nabla \times \vec A(\vec r , t) + \nabla \times \nabla \chi = \nabla \times \vec A(\vec r , t)

= \vec B(\vec r , t)\,. \end{align}</math>

Verschieden geeichte Vektorpotentiale führen immer auf dasselbe magnetische Feld. Dies wird als Eichinvarianz bezeichnet.

Häufig verwendete Eichungen

In der Magnetostatik kann das Vektorpotential über die Coulomb-Eichung quellfrei gemacht werden, das bedeutet

<math>\nabla \cdot\vec A(\vec r) = 0</math>.

In der Elektrodynamik, d. h. bei nicht-statischen Verhältnissen, benutzt man dagegen meist die Lorenz-Eichung, die für die Berechnung elektromagnetischer Wellenfelder nützlich ist:

<math> \nabla \cdot\vec A(\vec r , t) + \frac{1}{\ c^2}\partial_t\Phi (\vec r , t) = 0\,.</math>

Dabei ist <math>\Phi (\vec r , t)</math> das skalare elektrische Potential und <math>c</math> die Lichtgeschwindigkeit.

Elektrisches Vektorpotential

Vorlage:Hinweisbaustein Bei der Berechnung von Feldern in ladungs- und leitungsstromfreien Gebieten, z. B. in Hohlleitern begegnet man dem elektrischen Vektorpotential <math>\vec F </math>, es hat die Einheit einer Linienladungsdichte <math>\frac{C}{m}</math>.

Aufgrund der Quellenfreiheit der betrachteten Felder gilt

<math>\operatorname{div} \vec D = 0</math> bzw.

<math>\operatorname{div} \vec E = 0</math> sowie

<math>\operatorname{div} \operatorname{rot} \vec F = 0</math>.

Um einen funktionalen Zusammenhang zwischen <math>\vec D (r)</math> und <math>\vec F (r)</math> zu erhalten, subtrahiert man die Gleichungen <math>\operatorname{div} \vec D = 0</math> und <math>\operatorname{div} \operatorname{rot} \vec F = 0</math> voneinander und erhält:

<math>\operatorname{div} ( \vec D - \operatorname{rot} \vec F ) = 0</math>

Das Wirbelfeld <math>\vec F </math> nennt man elektrisches Vektorpotential. Es beschreibt nur zeitlich veränderliche elektrische Felder.

Literatur

Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Springer Verlag, 2002, ISBN 3-540-42018-5