Jacobi-Identität

In der Mathematik erfüllt eine bilineare Abbildung <math>F\colon V \times V \rightarrow V</math> auf dem Vektorraum <math>V</math> die Jacobi-Identität (nach Carl Jacobi), falls gilt:

für alle <math>x,y,z \in V</math>.

Ist die bilineare Abbildung zusätzlich antisymmetrisch, so handelt es sich um eine Lie-Klammer. Wichtige Beispiele sind der Kommutator linearer Abbildungen, das Vektorprodukt und die Poisson-Klammer.

Andere Schreibweisen

Es sei im Folgenden

<math>[{\cdot},{\cdot}]\colon V\times V\to V,\quad (x,y)\mapsto[x,y]</math>

eine alternierende bilineare Abbildung. Die Jacobi-Identität ist dann äquivalent dazu, dass diese Abbildung die Struktur einer Lie-Algebra auf <math>V</math> definiert.

Dann kann die Jacobi-Identität auf folgende Arten umgeschrieben werden:

<math>[x,[a,b]]=[[x,a],b]+[a,[x,b]]</math>

Anders gesagt: die Abbildung

<math>a\mapsto[x,a]</math>

ist eine Derivation bezüglich des Produktes <math>[{\cdot},{\cdot}]</math>.

<math>[[a,b],x]=[a,[b,x]]-[b,[a,x]]</math>

Anders gesagt: Mit der Notation

<math>\operatorname{ad}(a)\colon V\to V, \quad x\mapsto\operatorname{ad}(a)(x)=[a,x]</math>

gilt

<math>\operatorname{ad}([a,b])=[\operatorname{ad}(a),\operatorname{ad}(b)];</math>

dabei ist die Klammer auf der rechten Seite der Kommutator in der Endomorphismenalgebra von <math>V</math>.

Anders gesagt: Die Abbildung

<math>\operatorname{ad}\colon V\to\mathfrak{gl}(V)=\operatorname{End} V,\quad a\mapsto\operatorname{ad}(a)</math>

ist eine Darstellung der Lie-Algebra <math>V</math> auf sich selbst. Sie heißt die adjungierte Darstellung.

Quellen

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