Tensoralgebra

Die Tensoralgebra ist ein mathematischer Begriff, der in vielen Bereichen der Mathematik wie der linearen Algebra, der Algebra, der Differentialgeometrie sowie in der Physik verwendet wird. Sie ist die freie assoziative Algebra (mit Einselement), das heißt, sie ist durch eine entsprechende universelle Eigenschaft charakterisiert.

Definition

Es sei <math>V</math> ein Vektorraum über einem Körper <math>K</math> (oder allgemeiner ein Modul über einem kommutativen Ring mit Einselement). Wir definieren die Tensorprodukteräume

<math>V^{\otimes n}:=\underbrace{V\otimes \cdots \otimes V}_{n\text{-mal}}</math>

für <math>n\in \mathbb{N}</math> mit der Konvention <math>V^{\otimes 0}:=K</math>.

Dann ist die Tensoralgebra (als Vektorraum) definiert durch die direkte Summe aller Tensorprodukte des Raums mit sich selbst.<ref name=":0">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name=":1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\mathrm T(V) := \bigoplus_{n\geq0}V^{\otimes n}=K\oplus V\oplus(V\otimes V)\oplus(V\otimes V\otimes V)\oplus\ldots</math>

Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, wird <math>\mathrm T(V)</math> zu einer <math>\N_0</math>-graduierten unitären assoziativen Algebra.

Universelle Eigenschaft

Die Tensoralgebra erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Sei <math>V</math>ein <math>K</math>-Vektorraum (beziehungsweise ein freier Modul über einem kommutativen Ring mit Einselement) und <math>A</math> eine assoziative <math>K</math>-Algebra mit einem Einselement <math>e</math>, sowie <math>f \colon V\to A</math> eine lineare Abbildung, so existiert genau ein Algebrenhomomorphismus <math>\tilde{f} \colon \mathrm T(V)\to A</math>, sodass das Diagramm

Universelle Eigenschaft der Tensoralgebra

kommutiert.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name=":1" /> Diese Eigenschaft charakterisiert die Tensoralgebra bis auf Isomorphie. Der Algebrenhomomorphismus ist gegeben durch <math>\tilde{f}(v_1\otimes\dots\otimes v_r) = f(v_1)\dots f(v_r)</math> sowie <math>\tilde{f}(\lambda) = \lambda e</math>.

Aus der universellen Eigenschaft folgt, dass die Tensoralgebra <math>\mathrm T(V)</math> das freie Objekt in der Kategorie der assoziativen Algebren über <math>K</math> mit Einselement ist.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Ist der zugrundeliegende Vektorraum eindimensional (beziehungsweise der Modul von Rang 1) dann ist <math>\mathrm T(V)</math> also isomorph zum Polynomring <math>K[X]</math>. Ist allgemeiner <math>X</math> eine beliebige nicht-leere Menge und ist <math>V_X</math> der über <math>X</math> erzeugte <math>K</math>-Vektorraum, das heißt der freie K-Modul über <math>X</math>, so ist <math>\mathrm T(V_X)</math> die frei über <math>X</math> erzeugte assoziative Algebra.

T als Funktor

<math>\mathrm T</math> ist ein Funktor von der Kategorie der <math>K</math>-Vektorräume in die Kategorie der <math>K</math>-Algebren.<ref name=":0" /> Für einen <math>K</math>-Vektorraumhomomorphismus (eine lineare Abbildung) <math>\varphi \colon V \to W</math> ist <math>\mathrm T(\varphi) \colon \mathrm T(V) \to \mathrm T(W)</math> durch den Algebrenhomomorphismus gegeben, der nach der universellen Eigenschaft der Tensoralgebra durch <math>i_W \circ \varphi \colon V \to \mathrm T(W)</math> induziert wird (hierbei ist <math>i_W \colon W \to \mathrm T(W)</math> die Einbettung).

Der Funktor <math>\mathrm T</math> ist linksadjungiert zum Vergissfunktor, der einer <math>K</math>-Algebra, den zugrundeliegenden <math>K</math>-Vektorraum zuordnet. Daher wird <math>\mathrm T(V)</math> auch als die freie Algebra über <math>V</math> bezeichnet.

Quotientenräume der Tensoralgebra

Durch Herausteilen eines bestimmten Ideals kann man aus der Tensoralgebra beispielsweise die symmetrische Algebra<ref name=":1" />, die äußere Algebra<ref name=":1" /> oder die Clifford-Algebra gewinnen. Diese Algebren sind in der Differentialgeometrie von Bedeutung.

Einzelnachweise