Separabler Raum

Vorlage:Hinweisbaustein Der mathematische Begriff separabel bezeichnet in der Topologie und verwandten Gebieten eine häufig benutzte Abzählbarkeitseigenschaft von topologischen Räumen. Der Begriff ist dabei von besonderer Bedeutung in der Funktionalanalysis. Hier kann man beispielsweise zeigen, dass es in einem separablen Hilbertraum stets abzählbare Orthonormalbasen gibt.

Definition

Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine höchstens abzählbare Teilmenge gibt, die in diesem Raum dicht liegt.

Kriterien für separable Räume

Besitzt ein topologischer Raum eine (höchstens) abzählbare Basis, so ist er separabel. (Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.)<ref name="TC-SK-GR-001">Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 34.</ref>
Für einen metrischen Raum <math>X</math> gilt sogar:<ref name="PSA-001">P. S. Alexandroff: Einführung in die Mengenlehre und in die allgemeine Topologie. 1984, S. 121.</ref>
- Dafür, dass <math>X</math> eine abzählbare Basis besitzt, ist es notwendig und hinreichend, dass <math>X</math> separabel ist.
Ein total beschränkter metrischer Raum <math>X</math> ist stets separabel.<ref name="JM-001">Joseph Muscat: Functional Analysis. 2014, S. 68.</ref>
Insbesondere ist jeder kompakte, metrisierbare Raum separabel. Genauer gilt:<ref name="LG-NSP-001">Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou: Exercises in Analysis. Part 1. 2014, S. 8.</ref>
- Ist <math>X</math> ein metrisierbarer topologischer Raum, so sind die drei Eigenschaften,
  - (1) eine abzählbare Basis zu besitzen,
  - (2) lindelöfsch zu sein,
  - (3) separabel zu sein,
äquivalent.<ref>Da Kompaktheit ein Spezialfall der Lindelöf-Eigenschaft ist, ergibt sich die zuvor genannte Aussage aus dieser Äquivalenz als Folgerung.</ref>
Ein topologischer Vektorraum ist genau dann separabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, sodass der davon erzeugte Untervektorraum dicht liegt.
Ist <math>X</math> ein Hilbertraum von unendlicher Dimension, so sind stets die folgenden drei Bedingungen gleichwertig:<ref name="JH-001">Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 1970, S. 261.</ref><ref name="DW-001">Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2007, S. 235.</ref>
- (1) <math>X</math> ist separabel.
- (2) Alle Orthonormalbasen von <math>X</math> sind abzählbar.
- (3) In <math>X</math> gibt es eine abzählbare Orthonormalbasis.
Für eine unendliche und mit der Ordnungstopologie versehene linear geordnete Menge <math>X</math> sind die folgenden drei Bedingungen stets gleichwertig:<ref name="LF-001">Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 129.</ref>
- (1) <math>X</math> ist separabel und zusammenhängend.
- (2) <math>X</math> ist ordnungsisomorph zu einem Intervall von <math>\mathbb{R}</math>.
- (3) <math>X</math> ist homöomorph zu einem Intervall von <math>\mathbb{R}</math>.
Ist ein metrischer Raum <math>X</math> zusammenhängend und lokal euklidisch, so ist er lindelöfsch und damit separabel.<ref name="COC-WLV-001">Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of Topology. 1998, S. 420.</ref>

Beispiele

Beispiele für separable Räume sind etwa:

Die Räume <math>\mathbb{R}^n</math> sind für <math>n\in\mathbb{N}</math> separabel, da <math>\mathbb{Q}^n</math> abzählbar ist und dicht in <math>\mathbb{R}^n</math> liegt.<ref name="JH-002">Heine, op. cit, S. 72.</ref>
Es ist sogar jeder endlich-dimensionale normierte Raum über den reellen oder komplexen Zahlen separabel.
Die Räume <math>L^ p(\Omega,M,\mu)</math>, über einem separablen Maßraum <math>(\Omega,M,\mu)</math>, sind für <math>1\leq p<\infty</math> separabel. Dies ist z. B. beim Lebesgue-Maß mit der borelschen σ-Algebra der Fall.
Die Folgenräume <math>\ell^p</math> für <math>1\leq p<\infty</math> sind separabel.<ref name="JH-002" /> So liegt <math>c_{00}</math> dicht in <math>\ell^p</math>.
Der Raum <math>c_0</math> der (reellen oder komplexen) Nullfolgen ist mit der Supremumsnorm ein separabler Banachraum.<ref name="GJOJ-001">G. J. O. Jameson: Topology and Normed Spaces. 1970, S. 159.</ref>
Der Raum <math>c_{00}</math> der abbrechenden Folgen (<math id="Doppelpunkt falsch gesetzt.">\forall x \in c_{00} \exist N \in \mathbb{N} \forall n \geq N: x_n = 0</math>) ist mit der <math>\ell^p</math>-Norm für <math>1 \leq p < \infty</math> separabel.
Für offene Teilmengen <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^n</math> und natürliche Zahlen <math>k</math> sind die Räume <math>C^k(\Omega)</math> stets separabel.
Jede unendliche Menge mit kofiniter Topologie ist separabel, weil eine beliebige abzählbar unendliche Teilmenge als einzige abgeschlossene Obermenge den gesamten Raum hat.<ref name="TC-SK-GR-002">Camps/Kühling/Rosenberger, op. cit, S. 18.</ref>
Die Niemytzki-Ebene (oder Moore-Ebene) ist ein separabler Raum, da die enthaltene abzählbare (!) Teilmenge der Punkte mit rationalen Koordinaten darin dicht liegt.<ref name="LAS-JAS-001">Lynn A. Steen, J. Arthur Seebach, Jr.,: Counterexamples in Topology. 1970, S. 7, S. 100–103.</ref><ref name="JH-003">Heine, op. cit, S. 86.</ref>

Es lässt sich insbesondere bei (unendlichdimensionalen) normierten Räumen in der Regel leicht durch die explizite Angabe einer höchstens abzählbaren dichten Teilmenge zeigen, dass der Raum separabel ist. Für Folgenräume wie <math>c_0</math> über den reellen oder komplexen Zahlen bieten sich beispielsweise die rationalen Zahlen an. So liegt derselbe Raum über den rationalen Zahlen deshalb dicht in <math>c_0</math>, weil sich jede reelle Nullfolge in jedem Folgenglied durch rationale Zahlen annähern lässt (<math>\Q</math> dicht in <math>\R</math>). Diese punktweise Konvergenz impliziert insbesondere Konvergenz in der Supremumsnorm und damit Konvergenz im Raum <math>c_0</math>. Im komplexen Fall müssen Real- und Imaginärteil separat angenähert werden.

Gegenbeispiele

Es gibt einige bekannte Beispiele für nicht-separable Räume:

Der Banachraum <math>\ell^{\infty}</math> der beschränkten (reellen oder komplexen) Folgen ist nicht-separabel.<ref name="JH-004">Heine, op. cit, S. 72.</ref>
Allgemein gilt, dass für eine unendliche Menge <math>S</math> der Banachraum <math>B(X, \mathcal P(S))</math> der beschränkten (reell- oder komplexwertigen) Funktionen nie separabel ist.<ref name="GJOJ-002">Jameson, op. cit, S. 158.</ref>
Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen ist ein nicht-separabler Hilbertraum.
Versieht man die kleinste überabzählbare Ordinalzahl <math>\omega_1</math> mit ihrer Ordnungstopologie, so erhält man einen nicht-separablen Raum.<ref name="SW-001">Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 114.</ref>

Permanenzeigenschaften

Bilder von separablen Räumen unter stetigen Funktionen sind wieder separabel.<ref>Als dichte Teilmenge im Bild dient einfach das Bild der dichten Teilmenge im Definitionsbereich.</ref> Die dichte Teilmenge im Bildraum ist das Bild der Funktion selbst.
Offene Unterräume separabler Räume sind stets ebenfalls separabel.<ref name="LF-002">Führer, op. cit, S. 128.</ref>
Im Allgemeinen sind Unterräume separabler Räume nicht separabel. So enthält die erwähnte separable (!) Niemytzki-Ebene beispielsweise einen nicht-separablen Unterraum.<ref name="LAS-JAS-001" />
Es gilt aber, dass Unterräume separabler metrischer Räume wieder separabel sind.<ref>Dies folgt aus der oben genannten Äquivalenz von Separabilität und der Existenz einer abzählbaren Basis, denn letztere überträgt sich offensichtlich auf die metrischen Unterräume.</ref>
Separabilitätssatz von Marczewski: Ist <math>(X_i)_{i\in I}</math> eine Familie separabler Räume und ist die Mächtigkeit von <math>I</math> höchstens gleich der Mächtigkeit des Kontinuums <math>\mathbb R</math>, so ist <math>\textstyle \prod_{i\in I}X_i</math> mit der Produkttopologie ebenfalls separabel. Um dieses Resultat einzusehen, genügt es, die Separabilität von <math>{\mathbb N}^{\mathbb R} = \{f\mid f\colon {\mathbb R}\rightarrow {\mathbb N}\}</math> zu beweisen. Dazu überlegt man sich leicht, dass die abzählbare Menge der endlichen Summen von Funktionen aus <math>\{n\cdot\chi_{[a,b]}; n\in{\mathbb N}, a,b\in {\mathbb Q}\}</math> dicht liegt, wobei <math>\chi_{[a,b]}</math> die charakteristische Funktion des Intervalls <math>[a,b]</math> ist.

Zusammenhang mit anderen Begriffen

In der englischen Fachliteratur wird ein topologischer Raum <math>X</math> mit (höchstens) abzählbarer Basis von manchen Autoren als completely separable oder perfectly separable, also als vollständig separabel bzw. als vollkommen separabel bezeichnet.<ref name="LAS-JAS-002">Steen/Seebach, op. cit, S. 162.</ref>
Lässt sich die Topologie eines separablen Raumes <math>X</math> durch eine vollständige Metrik erzeugen, so nennt man <math>X</math> einen polnischen Raum.<ref name="LG-NSP-002">Gasiński/Papageorgiou, op. cit, S. 226.</ref>
Der Begriff des separablen Raumes steht in keiner Beziehung zum Begriff des separierten Raums.<ref name="HS-001">Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 58.</ref>

Zur Historie

Das Konzept des separablen Raumes geht zurück auf Maurice René Fréchet und seine Publikation Sur quelques points de calcul fonctionnel aus dem Jahre 1906.<ref name="SW-002">Willard, op. cit, S. 303.</ref>
P. S. Alexandroff zufolge ist der Terminus separabel eine höchst unglückliche Bezeichnung (…), die sich bedauerlicherweise jedoch eingebürgert hat und allgemeine Verbreitung fand.<ref name="PSA-002">Alexandroff, op. cit, S. 120–121.</ref>
Wie Horst Schubert im Jahre 1975 schrieb, bestanden (…) Tendenzen, ihn [den Terminus separabel] abzuschaffen.<ref name="HS-001" /><ref>Was jedoch offenbar nicht geschah.</ref>

Literatur

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Siehe auch

Einzelnachweise