Maßraum
Ein Maßraum ist eine spezielle mathematische Struktur, die eine essentielle Rolle in der Maßtheorie und dem axiomatischen Aufbau der Stochastik spielt.
Definition
Das Tripel <math>(\Omega, \mathcal{A}, \mu)</math> heißt Maßraum, wenn
- <math> \Omega </math> eine beliebige, nichtleere Menge ist. <math> \Omega </math> wird dann auch Grundmenge genannt.
- <math>\mathcal{A}</math> eine σ-Algebra über der Grundmenge <math> \Omega </math> ist.
- <math> \mu </math> ein Maß ist, das auf <math>\mathcal{A}</math> definiert ist.
Alternativ kann man einen Maßraum auch als einen Messraum <math> (\Omega, \mathcal A ) </math> versehen mit einem Maß <math> \mu </math> definieren.
Beispiele
Ein einfaches Beispiel für einen Maßraum sind die natürlichen Zahlen als Grundmenge <math> \Omega = \mathbb{N} </math>, als σ-Algebra wählt man die Potenzmenge <math> \mathcal{A}=\mathcal{P}(\mathbb{N}) </math> und als Maß das Diracmaß auf der 1: <math> \mu=\delta_1 </math>.
Ein bekannter Maßraum ist die Grundmenge <math> \mathbb{R} </math>, versehen mit der borelschen σ-Algebra <math> \mathcal{B}(\mathbb{R}) </math> und dem Lebesgue-Maß. Dies ist der kanonische Maßraum in der Integrationstheorie.
Die in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendeten Wahrscheinlichkeitsräume <math>(\Omega,\mathcal{A},P)</math> sind allesamt Maßräume. Sie bestehen aus der Ergebnismenge <math>\Omega</math>, der Ereignisalgebra <math>\mathcal{A}</math> und dem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math>.
Klassen von Maßräumen
Endliche Maßräume
Ein Maßraum <math>(\Omega, \mathcal{A}, \mu)</math> wird ein endlicher Maßraum oder auch beschränkter Maßraum genannt, wenn das Maß der Grundmenge endlich ist, also <math> \mu(\Omega)< \infty </math> ist.
σ-endliche Maßräume
Eine Maßraum wird ein σ-endlicher Maßraum oder σ-finiter Maßraum genannt, wenn das Maß σ-endlich (bezüglich der σ-Algebra <math> \mathcal A </math>) ist.
Vollständige Maßräume
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Ein Maßraum heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge bezüglich des Maßes wieder messbar ist, also in der σ-Algebra liegt.
Signierte Maßräume
Ist <math> \mathcal A </math> eine σ-Algebra über der Grundmenge <math> \Omega </math> und <math> \nu </math> ein signiertes Maß auf dieser σ-Algebra, so nennt man das Tripel <math> (\Omega, \mathcal A, \nu) </math> einen signierten Maßraum.
Separable Maßräume
Ein Maßraum <math> (\Omega, \mathcal A, \mu ) </math> heißt ein separabler Maßraum, wenn ein abzählbares Mengensystem <math> \mathcal S \subset \mathcal A </math> existiert, so dass für alle <math> A \in \mathcal A </math> und beliebige <math> \varepsilon > 0 </math> ein <math> S \in S </math> existiert, so dass <math> \mu(A \triangle S) < \varepsilon </math> ist.
Zerlegbare Maßräume
Zerlegbare Maßräume treten auf, wenn man den Satz von Radon-Nikodým allgemeiner formulieren will als nur für σ-endliche Maßräume.
Lokalisierbare Maßräume
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Auf lokalisierbaren Maßräumen lassen sich messbare Funktionen, die auf Mengen endlichen Maßes übereinstimmen zu einer lokal messbare Funktion zusammensetzen.
Literatur
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