Lokale Messbarkeit

In der Mathematik, genauer in der Maßtheorie, ist lokale Messbarkeit eine Eigenschaft, die Funktionen zukommt.

Definition

Sei <math>(\Omega, \mathcal A, \mu)</math> ein Maßraum und <math>(S,\mathcal B)</math> ein Messraum. Eine Abbildung <math>f\colon \Omega \to S</math> heißt lokal messbar, falls für jedes <math>A\in \mathcal A</math> mit <math>\mu(A) <\infty</math> die Abbildung <math>f|_A\colon (A, \mathcal A \cap A) \to (S, \mathcal B)</math> messbar ist, d. h. falls für jedes <math>B \in \mathcal B</math> stets <math>f^{-1}(B) \cap A \in \mathcal A</math> ist.

Eigenschaften

• Jede messbare Funktion ist auch lokal messbar.
• Ist <math>(\Omega,\mathcal A, \mu)</math> ein σ-endlicher Maßraum, so ist jede lokal messbare Funktion auch messbar, im Allgemeinen ist dies jedoch falsch.

Literatur

• Ehrhard Behrends: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1987, ISBN 3-540-17850-3, Abschnitt IV.3, S. 184–192.