Lineare Hülle
In der linearen Algebra ist die lineare Hülle (auch der Spann, Span [aus dem Englischen, von [linear] span], Aufspann, Erzeugnis oder Abschluss<ref name="Lau">Dietlinde Lau: Algebra und Diskrete Mathematik 1. Springer, ISBN 978-3-540-72364-6, Seite 162 </ref> genannt) einer Teilmenge <math>A</math> eines Vektorraums <math>V</math> über einem Körper <math>K</math> die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus <math>A</math> und Skalaren aus <math>K</math>. Die lineare Hülle bildet einen Untervektorraum, der gleichzeitig der kleinste Untervektorraum ist, der <math>A</math> enthält.
Definition
Konstruktive Definition
Ist <math>V</math> ein Vektorraum über einem Körper <math>K</math> und <math>A \subset V</math> eine Teilmenge des Vektorraums, dann heißt die Menge aller Linearkombinationen der <math>a_i \in A</math>, also die Menge
- <math>\langle A \rangle = \left\{ \left.\textstyle\sum\limits_{i=1}^n \lambda_ia_i \right| \lambda_i \in K, a_i \in A, n \in \N \right\}</math> ,
die lineare Hülle von <math>A</math>.<ref>Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 29–30 </ref>
Im Fall einer endlichen Teilmenge <math>A</math> vereinfacht sich diese Definition zu
- <math>\langle\{a_1, a_2, \dotsc, a_n \}\rangle = \{ \lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + \dotsb + \lambda_na_n \mid \lambda_1, \lambda_2, \dotsc, \lambda_n \in K \}</math>.
Die lineare Hülle der leeren Menge ist der Nullvektorraum, das heißt
- <math>\langle \emptyset \rangle = \{0\}</math>,
denn die leere Summe von Vektoren ergibt per Definition den Nullvektor.
Andere Definitionen
Äquivalent zu der konstruktiven Definition sind die folgenden Definitionen:
- Die lineare Hülle einer Teilmenge <math>A</math> eines Vektorraums <math>V</math> ist der kleinste Untervektorraum, der die Menge <math>A</math> enthält.
- Die lineare Hülle einer Teilmenge <math>A</math> eines Vektorraums <math>V</math> ist die Schnittmenge aller Untervektorräume <math>U</math> von <math>V</math>, die <math>A</math> enthalten.
Notation
Als Symbole für die lineare Hülle von <math>A</math> werden <math>\operatorname{span}(A)</math> bzw. <math>\operatorname{Span}(A)</math>, <math>\langle A \rangle</math>, <math>L(A)</math>, <math>\operatorname{lin} A</math> oder <math>\mathcal L(A)</math> verwendet. Ist <math>A</math> endlich, etwa <math>A = \{a_1, \dotsc, a_n\}</math>, werden doppelte Klammern vermieden, indem die Schreibweisen <math>\langle a_1, \dotsc, a_n \rangle</math>, <math>L\{a_1, \dotsc, a_n\}</math> oder <math>\mathcal L \{a_1, \dotsc, a_n\}</math> verwendet werden.
Eigenschaften
Seien <math>A</math> und <math>B</math> Teilmengen des <math>K</math>-Vektorraumes <math>V</math>. Dann gelten:
- <math> A \subseteq \langle A \rangle </math>,
- <math> A \subseteq B \Rightarrow \langle A \rangle \subseteq \langle B \rangle</math>,
- <math> \langle A \rangle = \langle \langle A \rangle \rangle </math>.
Diese drei Eigenschaften charakterisieren die lineare Hülle als Hüllenoperator.<ref name="Lau"/>
Weiter gelten:
- Die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums <math>V</math> ist ein Untervektorraum von <math>V</math>.
- Für jeden Unterraum <math>U</math> eines Vektorraums <math>V</math> gilt <math>\langle U \rangle = U</math>.
- Eine Menge von Vektoren ist ein Erzeugendensystem ihrer linearen Hülle. Ist insbesondere eine Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem eines Unterraumes, so ist dieser ihre lineare Hülle.
- Die Summe <math>U_1 + U_2 = \{u_1 + u_2 \mid u_1 \in U_1, u_2 \in U_2 \}</math> zweier Unterräume <math>U_1, U_2</math> ist die lineare Hülle der Vereinigungsmenge, also <math>U_1 + U_2 = \langle U_1 \cup U_2 \rangle</math>.
- In der Menge <math>T</math> der Unterräume eines Vektorraumes (einschließlich des Gesamtraums) kann man die Operation „bilde die lineare Hülle der Vereinigungsmenge“ als zweistellige Verknüpfung einführen. Die dazu duale Verknüpfung ist die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet <math>T</math> dann einen Verband.
- Sind <math> U, V </math> Unterräume eines Vektorraumes, dann gilt für die Dimensionen der linearen Hülle die Dimensionsformel:
- <math> \dim (U + V )+ \dim(U \cap V) = \dim U + \dim V </math>.
Beispiele
- Die lineare Hülle <math>\langle a\rangle</math> eines einzelnen Vektors <math>a \in \R^2\setminus \{ (0,0)\}</math> ist eine Gerade durch den Ursprung.
- Die beiden Vektoren <math>(3,0,0)</math> und <math>(0,2,0)</math> sind Elemente des reellen Vektorraums <math>\R^3</math>. Ihre lineare Hülle <math>\langle (3,0,0), (0,2,0) \rangle</math> ist die <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene.
- Sei <math>KX = \left\{ \left.\textstyle\sum\limits_{k=0}^{\infty} \lambda_k X^k \right| (\lambda_k)_{k \in \N_0} \in K^{\N_0} \right\}</math> der Vektorraum der formalen Potenzreihen über dem Körper <math>K</math> und <math>A = \{ X^k \mid k \in \N \}</math> die Menge der Monome. Dann ist die lineare Hülle von <math>A</math> der Unterraum der Polynome:
- <math>\langle A \rangle = \left\{ \left.\textstyle\sum\limits_{i=0}^n \lambda_i X^i \right| n \in \N, \lambda_0, \dotsc, \lambda_n \in K \right\} = K[X]</math>.
Literatur
- Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger (Grundkurs Mathematik). 17. Auflage, Vieweg+Teubner-Verlag, Wiesbaden 2010. ISBN 978-3-8348-0996-4, 384 Seiten.
Einzelnachweise
<references />
pl:Podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa ru:Векторное пространство#Линейная оболочка