Lindelöf-Raum

Ein Lindelöf-Raum ist ein mathematisches Objekt aus der mengentheoretischen Topologie. Es handelt sich um ein Konzept, welches das des kompakten Raums verallgemeinert. Benannt ist der Lindelöf-Raum nach dem Mathematiker Ernst Leonard Lindelöf.

Ein Lindelöf-Raum ist erblich ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}}), falls jeder seiner offenen Unterräume ein Lindelöf-Raum ist.<ref name="Willard">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Definition

Ein topologischer Raum wird Lindelöf-Raum genannt, falls jede offene Überdeckung eine höchstens abzählbare Teilüberdeckung besitzt.

Satz von Lindelöf

Hat der topologische Raum <math>X</math> eine abzählbare Basis, so ist <math>X</math> ein Lindelöf-Raum.

Weitere Eigenschaften

Jeder kompakte Raum ist ein Lindelöf-Raum. Allgemeiner ist jeder <math>\sigma</math>-kompakte Raum ein Lindelöf-Raum.
Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er abzählbar kompakt und Lindelöf-Raum ist.
Für metrisierbare Räume sind die drei Eigenschaften zweitabzählbar, lindelöf und separabel äquivalent.
Abgeschlossene Teilräume von Lindelöf-Räumen sind wieder Lindelöf-Räume.
Jeder reguläre Raum, der ein Lindelöf-Raum ist, ist ein normaler Raum.

Erblicher Lindelöf-Raum

Ein Lindelöf-Raum <math>X</math> ist erblich, falls jeder seiner offenen Unterräume auch ein Lindelöf-Raum ist.<ref name="Willard" />

Ist das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, dann ist der Lindelöf-Raum erblich.
Jeder abzählbare Lindelöf-Raum ist erblich.

Eigenschaften

Wenn <math>X</math> ein lokalkonvexer Raum mit topologischen Dualraum <math>X'</math>, der hausdorff und auch ein erblicher Lindelöf-Raum ist, dann gilt für die zylindrische σ-Algebra <math>\mathcal{E}(X,X')</math> und borelsche σ-Algebra <math>\mathcal{B}(X)</math> folgende Gleichheit

<math>\mathcal{E}(X,X')=\mathcal{B}(X).</math><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Literatur

Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.

Einzelnachweise