Ordnungsisomorphismus

Ein Ordnungsisomorphismus ist ein Begriff aus der Ordnungstheorie, einem Teilbereich der Mathematik. Er ermöglicht das eindeutige Übertragen von Kleiner-gleich-Relationen zwischen Mengen.

Definition

Sind zwei Halbordnungen <math> (G, \leq_G) </math> und <math>(H, \leq_H) </math> gegeben, so heißt eine Abbildung

<math>\psi\colon G \rightarrow H</math>

ein Ordnungsisomorphismus, wenn <math> \psi </math> eine bijektive isotone Abbildung ist, deren Umkehrabbildung <math> \psi^{-1} </math> ebenfalls eine isotone Abbildung ist.

Existiert zwischen <math>G</math> und <math>H</math> ein Ordnungsisomorphismus, so lässt sich die Existenz auch mit <math>G \cong H</math> ausdrücken und <math>G</math> und <math>H</math> werden als ordnungsisomorph bezeichnet. Bildet ein Ordnungsisomorphismus eine Menge auf sich selbst ab, so ist er ein Automorphismus und wird auch Ordnungsautomorphismus genannt.

Beispiele

• Die identische Abbildung <math> \operatorname{id}_G\colon G \rightarrow G, a \mapsto a </math> einer jeden Halb- / Totalordnung ist zugleich auch ein Ordnungsautomorphismus.
• Zwischen beschränkten offenen und beschränkten halboffenen oder abgeschlossenen Intervallen lässt sich kein Ordnungsisomorphismus erklären, denn die letzteren haben kleinste und/oder größte Elemente, die ersteren nicht.
• Sei <math>g</math> eine Funktion, die von <math>\mathbb{N}</math> in die Menge aller Quadratzahlen <math>Q</math> abbildet:
  <math>Q = \left \{ n^2 \mid n \in \mathbb{N} \right \} \subset \mathbb{N}</math>
  Die Funktion lautet neu: <math>g\colon \mathbb{N} \rightarrow Q, x \mapsto x^2</math>
  Von dieser neuen Funktion <math>g</math> existiert auch eine Umkehrfunktion: <math>g^{-1}\colon Q \rightarrow \mathbb{N}, x \mapsto \sqrt{x}</math>
  Somit ist <math>g</math> bijektiv. Weil <math>g</math> bijektiv und isoton ist und weil die Ordnungen <math>(\mathbb{N}, \leq)</math> und <math>(Q, \leq)</math> total sind, so ist <math>g</math> auch ein Ordnungsisomorphismus.
• Die identische Abbildung <math> \operatorname{id}_\mathbb{R}\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x</math> ist eine bijektive antitone Abbildung zwischen <math>(\mathbb{R}, \leq)</math> und <math>(\mathbb{R}, \geq)</math>.
• Die Funktion des additiv inversen Elementes <math>f\colon M \rightarrow M, x \mapsto -x</math> ist eine Involution und damit auch eine Bijektion. <math>f</math> ist eine antitone Abbildung von <math>(M, \leq)</math> in sich selbst und außerdem eine isotone Abbildung von <math>(M, \leq)</math> nach <math>(M, \geq)</math>. Des Weiteren ist <math>f</math> gar ein Ordnungsisomorphismus, da die Ordnungsrelationen Totalordnungen sind und da <math>f</math> bijektiv ist. Dies trifft unter anderem zu für die ganzen Zahlen <math>M = \mathbb{Z}</math>, die rationalen Zahlen <math>M = \mathbb{Q}</math> und für die reellen Zahlen <math>M = \mathbb{R}</math> zu.
• Die Komponentenweise-kleiner-oder-gleich-Relation auf beliebigen n-Tupeln <math>(a_1, \cdots, a_n) \leq^n (b_1, \cdots, b_n) :\Longleftrightarrow \forall i \in [1,n] \cap \mathbb{N}: a_i \leq b_i</math> bildet für <math>n \geq 2</math> eine echte Halbordnung, die das Totalitätskriterium nicht erfüllt. Die Funktion <math>\Psi\colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 , (x, y) \mapsto (2x, 2y)</math> ist offensichtlich bijektiv, die Umkehrfunktion lautet <math>\Psi^{-1}\colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 , (x, y) \mapsto \left (\frac{x}{2}, \frac{y}{2} \right )</math>. Auf <math>(\mathbb{R}^2, \leq^2)</math> ist außerdem sowohl <math>\Psi</math> als auch <math>\Psi^{-1}</math> isoton, was <math>\Psi</math> und <math>\Psi^{-1}</math> als Ordnungsisomorphismen – genauer gesagt als einen Ordnungsautomorphismen, denn sowohl die Definitions- als auch die Zielmengen sind <math>\mathbb{R}^2</math>, – auszeichnet.

Komposition

Sei <math>f\colon U \rightarrow V</math> ein Ordnungsisomorphismus zwischen <math>(U, \leq_U)</math> und <math>(V, \leq_V)</math> und sei <math>g\colon V \rightarrow W</math> ein Ordnungsisomorphismus zwischen <math>(V, \leq_V)</math> und <math>(W, \leq_W)</math>, so ist auch <math>f \circ g\colon U \rightarrow W</math> ein Ordnungsisomorphismus und zwar zwischen <math>(U, \leq_U)</math> und <math>(W, \leq_W)</math>. Durch die Eigenschaft – dass es sich um Ordnungsisomorphismen handelt – ist garantiert, dass die Abbildungen bijektiv sind, womit auch die durch Komposition entstandene Funktion bijektiv sein muss. Durch die Bijektivität wird ebenfalls garantiert, dass das Bild von <math>f</math> gleich der Zielmenge von <math>f</math> ist.

Eigenschaften

• Es gilt wegen der Bijektivität, dass

<math>\forall a \in G: a = \psi^{-1}\left ( \psi(a) \right )</math>

gilt und ebenso:

<math>\forall a \in H: a = \psi\left ( \psi^{-1}(a) \right )</math>

• Sind <math>(G, \leq_G)</math> und <math>(H, \leq_G)</math> Totalordnungen und existiert eine isotone Bijektion <math>\gamma\colon G \rightarrow H</math>, so ist diese automatisch auch ein Ordnungsisomorphismus, bzw. <math>\gamma^{-1}</math> ist auch isoton.
• Es lässt sich zeigen, dass jede endliche Menge ordnungsisomorph zu der Menge natürlicher Zahlen bis zur Mächtigkeit der Menge ist. Formal:

<math>\left (M, \leq_M \right ) \cong \left (\left \{ 1, \dots, \left | M \right | \right \}, \leq \right )</math>.

Literatur

• Rudolf Berghammer: Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen. Springer+Vieweg, 2. Auflage 2012, ISBN 978-3-658-00618-1