Riesz-Mittel
Das Riesz-Mittel ist eine bestimmte Mittelwert-Bildung für Werte in eine Reihe in der Mathematik. Sie wurden von Marcel Riesz 1911 als Verbesserung zum Cesàro-Mittel eingeführt.<ref>M. Riesz: Comptes Rendus, 12. Juni 1911 (englisch)</ref><ref>G.H. Hardy and J.E. Littlewood: Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes, Acta Mathematica, 41 (1916) pp.119–196. (englisch)</ref> Das Riesz-Mittel sollte nicht mit dem Bochner-Riesz-Mittel oder dem Strong-Riesz-Mittel verwechselt werden.
Definition
Gegeben sei eine Reihe <math>\{s_n\}</math>. Das Riesz-Mittel der Reihe ist definiert durch
- <math>s^\delta(\lambda) =
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta s_n </math>
Manchmal wird ein verallgemeinertes Riesz-Mittel definiert als
- <math>R_n = \frac{1}{\lambda_n} \sum_{k=0}^n (\lambda_k-\lambda_{k-1})^\delta s_k</math>
Dabei sind die <math>\lambda_n</math> eine Folge mit <math>\lambda_n\to\infty</math> und mit <math>\lambda_{n+1}/\lambda_n\to 1</math>, wenn <math>n\to\infty</math>. Die anderen <math>\lambda_n</math> sind beliebig.
Das Riesz-Mittel wird oft verwendet, um die Summierbarkeit von Folgen zu untersuchen. Üblicherweise untersuchen Sätze zur Summierbarkeit der <math>s_n = \sum_{k=0}^n a_n</math> für Folgen <math>\{a_n\}</math>. Normalerweise ist eine Folge summierbar, wenn der Grenzwert <math>\lim_{n\to\infty} R_n</math> vorhanden ist oder der Grenzwert <math>\lim_{\delta\to 1,\lambda\to\infty}s^\delta(\lambda)</math> existiert, obgleich die exakten Sätze zur Summierbarkeit oft noch zusätzliche Bedingungen voraussetzen.
Spezialfälle
Sei <math>a_n=1</math> für alle <math>n</math>. Dann gilt
- <math>
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \zeta(s) \lambda^s \, ds = \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_n b_n \lambda^{-n}. </math>
Dabei muss <math>c>1</math> sein, <math>\Gamma(s)</math> ist die Gammafunktion und <math>\zeta(s)</math> ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Es kann gezeigt werden, dass die Potenzreihe
- <math>\sum_n b_n \lambda^{-n}</math>
für <math>\lambda > 1</math> konvergent ist. Es ist anzumerken, dass das Integral von der Form einer inversen Mellin-Transformation ist.
Ein anderer interessanter Fall, der mit der Zahlentheorie verknüpft ist, entsteht durch Setzen von <math>a_n=\Lambda(n)</math>, wobei <math>\Lambda(n)</math> die Mangoldt-Funktion ist. Dann ist
- <math>
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta \Lambda(n) = - \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} \lambda^s \, ds = \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_\rho \frac {\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)} +\sum_n c_n \lambda^{-n}. </math>
Erneut muss c > 1 sein. Die Summe über ρ ist die Summe über die Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion und
- <math>\sum_n c_n \lambda^{-n} \, </math>
ist konvergent für ρ > 1.
Die Integrale, die hierbei auftreten ähneln dem Nörlund-Rice-Integral. Sie hängen über Perron's-Formel zusammen.
Siehe auch
Literatur
<references />
- I.I. Volkov: Riesz summation method, in Hazewinkel, Michiel: Encyclopaedia of Mathematics, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch)