Mangoldt-Funktion

In der Mathematik ist die Mangoldt-Funktion (auch Von Mangoldt-Funktion), benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans von Mangoldt, eine zahlentheoretische Funktion, die üblicherweise mit <math>\Lambda</math> bezeichnet wird.

Die Mangoldt-Funktion besitzt die Eigenschaft, dass zusammengesetzte Zahlen rausgefiltert werden und nur die Primzahlen und Primzahlpotenzen übrig bleiben. Der Wert der Mangoldt-Funktion ist dann der Logarithmus der Primzahl.

Definitionen und grundlegende Eigenschaften

Die Mangoldtsche Funktion ist definiert als

<math>\Lambda(n)=\begin{cases}\log(p)&\text{falls }n\text{ sich als }n=p^k\text{ darstellen }\mathrm{l\ddot asst,}\text{ wobei }p\text{ prim und }k\in\N^+\\0&\text{sonst}\end{cases}</math>

Erläuterungen

Für zusammengesetzte Zahlen <math>n</math> also

<math>\Lambda(n) = 0 \iff n = p_1^{r_1},\dots,p_n^{r_n}, \qquad n\geq 2</math>

wobei <math>p_1^{r_1},\dots,p_n^{r_n}</math> ihre Primfaktorzerlegung bezeichnet.

Das heißt, die Mangoldt-Funktion filtert in einem ersten Schritt sozusagen die Primzahlen und Primzahlpotenzen raus, in dem die zusammengesetzten Zahlen mit <math>0</math> identifiziert werden. In einem zweiten Schritt werden die Primzahlpotenzen und die Primzahlen mit dem Logarithmus der zugrundeliegenden Primzahl identifiziert.

Die ersten Werte von <math>\Lambda(n)</math> sind

Die Mangoldt-Funktion ist weder eine additive Funktion noch multiplikative Funktion.

exp(Λ(n))

<math>\exp(\Lambda(n))</math> lässt sich explizit angeben als

<math>e^{\Lambda(n)}=\frac{\operatorname{kgV}(1,2,3,\dotsc,n)}{\operatorname{kgV}(1,2,3,\dotsc,n-1)}</math>

wobei <math>\rm kgV</math> das kleinste gemeinsame Vielfache bezeichnet.

Die ersten Werte der Folge <math>\exp(\Lambda(n))</math> sind

<math>1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1,\dots </math> (Folge A014963 in OEIS)

Summierte Mangoldt-Funktion

Die summierte Mangoldt-Funktion,

<math>\psi(n)=\sum_{i=1}^n\Lambda(i),</math>

wird auch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet. Sie spielt beim Beweis des Primzahlsatzes eine Rolle.

Teilersummen

Bezeichne mit <math>\mu(n)</math> die Möbius-Funktion. Alle in diesem Abschnitt folgenden Formeln gelten für <math>n\in\mathbb{N}</math>. Es gilt

<math>\sum_{d\mid n}\Lambda(d)=\log n\,</math>

Weiter gilt

<math>\Lambda(n)=\sum_{d\mid n}\mu\left(d\right)\log\left(\frac nd\right)\qquad (1)</math>

<math>\Lambda(n)=-\sum_{d\mid n}\mu(d)\log d\quad\quad (2)</math>

<math>\Lambda(n)=\sum_{d\mid n}\mu\left(\frac nd\right)\cdot\log d</math>

<math>\sum_{d\mid n}\mu\left(\frac nd\right)\Lambda(d)=-\mu(n)\log n</math>

Durch Anwendung der Mobius-Inversionsformel kann <math>(1)</math> gezeigt werden, <math>(2)</math> folgt daraus.

Hierbei bedeutet <math>d\mid n</math>, dass <math>d</math> ein positiver Teiler von <math>n</math> ist, d. h. die Summen laufen über alle positiven Teiler von <math>n</math>.

Folgerungen

Sei <math>p</math> eine Primzahl, Beziehung <math>(2)</math> kann man zum Beispiel nützen, wenn man Primzahlzwillinge <math>(p,p+2)</math> untersucht

<math>\sum\limits_{p\leq x}\Lambda(p+2)=-\sum\limits_{p\leq x}\sum_{d\mid p+2}\mu(d)\log d.</math>

Dirichlet-Reihen

Die Mangoldt-Funktion spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Dirichletreihen.

Es gilt

<math>\log\zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty\frac1{n^s}\frac{\Lambda(n)}{\log n}\qquad\quad\mathrm{f\ddot ur\;Re}(s)>1.</math>

Die logarithmische Ableitung davon liefert einen Zusammenhang zwischen der Riemannschen <math>\zeta</math>-Funktion und der Mangoldt-Funktion:

<math>\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\Lambda(n)}{n^s}\qquad\quad\mathrm{f\ddot ur\;Re}(s)>1.</math>

Allgemeiner gilt sogar: Ist <math>f</math> multiplikativ und ihre Dirichletreihe <math>F</math>

<math>F(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)}{n^s}</math>

konvergiert für gewisse <math>s</math>, dann gilt

<math>\frac{F^\prime(s)}{F(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}.</math>

Verallgemeinerte Mangoldt-Funktion

Die verallgemeinerte Mangoldt-Funktion ist definiert als

<math>\Lambda_k(n)=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\log^k(n/d)</math>

wobei <math>\mu</math> die Möbius-Funktion bezeichnet und <math>k\in \mathbb{Z}_+</math>.

Als Dirichlet-Faltung geschrieben

<math>\Lambda_k(n)=(\mu \ast \log^k)(n).</math>

Im Fall <math>k=1</math> erhält man die gewöhnliche Mangoldt-Funktion <math>\Lambda_1=\Lambda</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Eigenschaften

Für <math>k\geq 1</math> gilt folgende Rekursion<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\Lambda_{k+1}(n)=\Lambda_k(n) \log(n)+(\Lambda_k \ast \Lambda) (n)</math>

Es folgt aus der Rekursion, dass wenn <math>\omega(n)>k</math> dann ist <math>\Lambda_k(n)=0</math>.

Abschätzen der Mangoldt-Funktion

Das Abschätzen der Mangoldt-Funktion ist ein zentrales Problem der analytischen Zahlentheorie. Es gibt hierzu verschiedene Methoden wie Winogradows Methode, der Null-Dichte-Methoden (englisch zero density methods) und Vaughans Identität.

Referenzen

{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Mangoldt Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
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Einzelnachweise