Möbius-Inversion

Die Möbius-Inversion oder auch Möbiussche Umkehrformel geht auf August Ferdinand Möbius zurück und erlaubt es, eine zahlentheoretische Funktion aus ihrer summatorischen Funktion zu rekonstruieren.

Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion

<math>f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{C}</math>

und ihre summatorische Funktion

<math>F\colon\mathbb{N}\to\mathbb{C},\quad F(n) = \sum_{d\mid n}f(d)</math>.

Dann gilt für jede natürliche Zahl <math>n</math>

<math> f(n) = \sum_{d\mid n}\mu(d)F\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)F(d)</math>,

wobei <math>\mu</math> die Möbiusfunktion auf <math>\N</math> mit Werten in <math>\{-1, 0, 1\} </math> bezeichnet.

Verallgemeinerung

Beim Nachweis der Umkehrformel wird vom Zielbereich <math>\Complex</math> der zahlentheoretischen Funktionen lediglich benutzt, dass <math>(\Complex, +, 0)</math> eine abelsche Gruppe ist. Für multiplikativ notierte abelsche Gruppen <math>(G, \cdot, 1)</math> erhält die Möbiussche Umkehrformel also die folgende Form:<ref>Helmut Hasse, I. § 2 (Teilbarkeit), Seite 21 unten.</ref>

Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion

<math>f\colon\mathbb{N}\to G</math>

und ihre „summatorische“ Funktion

<math>F\colon\mathbb{N}\to G,\quad F(n) = \prod_{d\mid n} f(d).</math>

Dann gilt für jede natürliche Zahl <math>n</math>

<math> f(n) = \prod_{d\mid n}F\left(\frac{n}{d}\right)^{\mu(d)} = \prod_{d\mid n} F(d)^{\mu\left(\frac{n}{d}\right)} = \prod_{de=n} F(d)^{\mu(e)} ,</math>

wobei <math>\mu</math> die Möbiusfunktion auf <math>\N</math> mit Werten in <math>\{-1, 0, 1\} </math> bezeichnet.

Diese Form liefert mit <math>(G,\cdot,1) = (\Q(X)^\times,\cdot,1)</math> für das Kreisteilungspolynom <math>\Phi_n(X)\in\Z[X]</math> eine explizite Definition, allerdings im (gebrochen-)rationalen Funktionenkörper <math>\Q(X)</math>, also im Quotientenkörper der Polynomalgebra <math>\Q[X]</math>. Dass <math>\Phi_n(X) \in \Q[X]</math> und sogar <math>\Phi_n(X) \in \Z[X]</math>, erfordert weitere, gleichwohl einfache Argumente.<ref>Helmut Hasse, III. § 27 (Einheitswurzelkörper), Seite 501.</ref>

Literatur

• Helmut Hasse: Zahlentheorie, 2. erweiterte Auflage, Akademie-Verlag, Berlin, 1963, mit 49 Abbildungen.

Einzelnachweise

<references />