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Cesàro-Mittel

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Als Cesàro-Mittel oder Cesàro-Durchschnitte werden die zu einer gegebenen Zahlenfolge aus den ersten <math>n</math> Folgengliedern gebildeten arithmetischen Mittel bezeichnet. Wenn diese für wachsende <math>n</math> konvergieren, spricht man von Cesàro-Konvergenz. Im Falle von Reihen (als Folgen von Partialsummen) spricht man auch von Cesàro-Summierbarkeit und bezeichnet den Grenzwert als Cesàro-Summe. Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück und ermöglicht eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffs. Sie ist deswegen insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und der Fourier-Analysis von Bedeutung.

Definition

Zu einer gegebenen Zahlenfolge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bildet man die arithmetischen Mittel über die ersten <math>n</math> Folgenglieder, also

<math>

\begin{align} \sigma_1 &= a_1 \\ \sigma_2 &=\frac{a_1+a_2}{2} \\ \sigma_3 &=\frac{a_1+a_2+a_3}{3} \\ &\;\;\vdots \\ \sigma_n & =\frac{a_1+\ldots+a_n}{n} \\ &\;\;\vdots \end{align} </math>

Man bezeichnet <math>\sigma_n</math> dann als das <math>n</math>-te Cesàro-Mittel beziehungsweise die Folge <math>(\sigma_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge der Cesàro-Mittel.

Konvergiert die Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen einen Wert <math>a</math>, so konvergiert nach dem Cauchyschen Grenzwertsatz auch die Folge der Cesàro-Mittel <math>(\sigma_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>a</math>, das heißt, aus <math>a_n\rightarrow a</math> folgt <math>\sigma_n\rightarrow a</math> oder ausgeschrieben <math>\tfrac{a_1+\ldots+a_n}{n}\rightarrow a</math>. Die Folge der Cesàro-Mittel <math>(\sigma_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> kann jedoch auch konvergieren, ohne dass die Ausgangsfolge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert.

Ein Beispiel hierfür ist die alternierende Folge <math>\left((-1)^{n+1}\right)_{n\in\mathbb{N}}=(1,-1,1,-1,\ldots)</math>, sie selbst ist divergent, aber die Folge ihrer Cesàro-Mittel <math>(\sigma_n)_{n\in\mathbb{N}}=(1,0,\tfrac{1}{3},0,\tfrac{1}{5},\ldots) = \left(\tfrac{1+(-1)^{n+1}}{2n}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gegen 0.

Damit hat man eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffes für Folgen und bezeichnet eine Folge dementsprechend als Cesàro-konvergent, wenn die Folge ihrer Cesàro-Mittel konvergiert.

Spezialfall Reihen

Ein wichtiger Spezialfall ist die Anwendung der Cesàro-Mittel beziehungsweise der Cesàro-Konvergenz auf Reihen, das heißt auf die Folge der Partialsummen einer Reihe. Zu einer Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> sind die Partialsummen der Reihe <math>\textstyle \sum a_n</math> definiert als:

<math>

\begin{align} s_1 &= a_1 \\ s_2 &=a_1+a_2 \\ s_3 &=a_1+a_2+a_3 \\ &\;\;\vdots \\ s_n &=a_1+\ldots+a_n \\ &\;\;\vdots \end{align} </math> Zu dieser Folge <math>(s_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> bildet man nun die Cesàro-Mittel <math>\sigma_n=\tfrac{s_1+\ldots+s_n}{n}</math>. Konvergieren diese, das heißt <math>\sigma_n\rightarrow \sigma</math>, so bezeichnet man die Reihe <math>\textstyle \sum a_n</math> Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder <math>C_1</math>-summierbar zum Wert <math>\sigma</math> und schreibt <math>C\text{-}\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sigma</math>. Den Grenzwert <math>\sigma</math> nennt man Cesàro-Summe und auch die Ausgangsfolge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> wird dann als Cesàro-summierbar oder <math>C_1</math>-summierbar zum Wert <math>\sigma</math> bezeichnet.

Bildet man zu der obigen Beispielfolge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> mit <math>a_n=(-1)^{n+1}</math> die zugehörige Reihe <math>\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}</math>, dann erhält man die folgenden Partialsummen:

<math>

\begin{align} s_1 &= 1 \\ s_2 &=1-1=0 \\ s_3 &=1-1+1=1 \\ &\;\;\vdots \\ s_{2n} &=\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1}=0 \\ s_{2n+1} &=\sum_{k=1}^{2n+1} (-1)^{k+1}=1 \\ &\;\;\vdots \end{align} </math> Die Cesàro-Mittel über die Folge dieser Partialsummen lauten dann:

<math>

\begin{align} \sigma_1 &= 1 \\ \sigma_2 &=\tfrac{1+0}{2}=\tfrac{1}{2} \\ \sigma_3 &=\tfrac{1+0+1}{3}=\tfrac{2}{3} \\ &\;\;\vdots \\ \sigma_{2n} &=\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{2n} s_k=\tfrac{n}{2n}=\tfrac{1}{2} \\ \sigma_{2n+1} &=\frac{1}{2n+1}\sum_{k=1}^{2n+1} s_k=\tfrac{n+1}{2n+1}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2\cdot(2n+1)} \\ &\;\;\vdots \end{align} </math> Es gilt <math>\sigma_n\rightarrow \tfrac{1}{2}</math> und damit <math>C\text{-}\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}=\tfrac{1}{2}</math>. Diese Reihe wird auch als Grandi-Reihe bezeichnet.

Terminologie

Viele Autoren definieren die Cesàro-Konvergenz nur für Reihen, das heißt, sie betrachten nur die Cesàro-Mittel der zugehörigen Partialsummen. Bezogen auf eine Reihe <math>\textstyle \sum a_n</math> haben die Bezeichnungen Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder <math>C_1</math>-summierbar die gleiche Bedeutung. Dies ist aber nicht der Fall, wenn man sich auf die Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bezieht. Hier haben Cesàro-Konvergenz und Cesàro-Summierbarkeit eine unterschiedliche Bedeutung, denn die Konvergenz bezieht sich dann auf die Cesàro-Mittel der Folgenglieder, während sich die Summierbarkeit auf die Cesàro-Mittel der aus den Folgengliedern gebildeten Partialsummen bezieht und damit der Summierbarkeit beziehungsweise Konvergenz der zugehörigen Reihe <math>\textstyle \sum a_n</math> entspricht.

Anwendungen

Die Anwendung des Cesàro-Mittels auf den Dirichlet-Kern in der Fourier-Analysis führt zum Fejér-Kern und dem Satz von Fejér, der das Konvergenzverhalten von Fourier-Reihen beschreibt. In der Theorie der divergenten Reihen lässt sich mit Hilfe der Cesàro-Mittel bestimmten divergenten Reihen ein Grenzwert im Sinne der Cesàro-Konvergenz zuordnen.

Literatur

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 155
  • Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. 3. Auflage, Walter de Gruyter 1987, ISBN 311-011517-4, S. 459
  • Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Ei. Springer, 2. Auflage, 2017, ISBN 9783662534984, S. 304
  • Douglas N. Clark: Dictionary of Analysis, Calculus, and Differential Equations. CRC Press, 1999, ISBN 9781420049992, S. 120
  • Carl L. DeVito: Harmonic Analysis: A Gentle Introduction. Jones & Bartlett, 2007, ISBN 9780763738938, S. 43
  • Godfrey Harold Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, Oxford, 1949, S. 94–118, insbesondere S. 96

Weblinks

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