Raumfüllende Kurve

Eine raumfüllende Kurve () ist eine Linie in der Analysis, die eine zweidimensionale Fläche oder einen mehrdimensionalen Raum (beziehungsweise das regelmäßige Gitter, das diese/n Fläche/Raum beschreibt) komplett (surjektiv) durchläuft. Eine solche Kurve kann nicht zugleich bijektiv und stetig sein, da sonst das Einheitsintervall und das Einheitsquadrat die gleiche Dimension hätten (Satz von der Invarianz der Dimension).

Datei:Hilbert-Kurve.png

Das Standardbeispiel: die Hilbert-Kurve

Das Akronym FASS-Kurve steht für „space-filling, self-avoiding, simple and self-similar“ (raumfüllend, selbst-ausweichend, einfach und selbstähnlich). FASS-Kurven sind raumfüllend.

Raumfüllende Kurven müssen aber nicht selbst-ausweichend sein, sie können sich auch selbst überkreuzen; sie müssen auch nicht selbstähnlich sein, so die βΩ-Kurve von Jens-Michael Wierum.<ref>J.-M. Wierum. Definition of a new circular space-filling curve: βΩ-indexing. Technical Report TR-001-02, Paderborn Center for Parallel Computing (PC²) (2002)</ref><ref group="Anm">Sie ist eine Quadranten-basierte, „face-continuous“ (Zellen-stetige), „facet-gated“ (Zellen-verbundene), aber nicht selbst-ähnliche geschlossene 2-dimensionale raumfüllende Kurve (s. H. Haverkort, 2016).</ref>

Beispiele für raumfüllende Kurven sind:

• Hilbert-Kurve
• Peano-Kurve
• Gosper-Kurve
• E-Kurve
• Sierpiński-Kurve
• Z-Kurve
• H-Baum

Anmerkungen

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Einzelnachweise

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Literatur

• Hans Sagan: Space-Filling Curves. Springer-Verlag 1994.
• Michael Bader: Space-Filling Curves – An Introduction with Applications in Scientific Computing. Springer-Verlag 2012.
• Herman Haverkort: How many three-dimensional Hilbert curves are there?, 2016. Abgerufen am 28. Juli 2018.