Peano-Kurve
Die Peano-Kurve ist eine raumfüllende Kurve (FASS-Kurve). Sie ist definiert als der Grenzwert einer Folge von Kurven, die schrittweise konstruiert werden können. Sie ist nach dem italienischen Mathematiker Giuseppe Peano benannt, der sie 1890 veröffentlichte. Bis dahin ging man in der mathematischen Fachwelt davon aus, dass solche raumfüllenden Kurven nicht existieren können.
Im zweidimensionalen Fall ist ein Beispiel für eine Peano-Kurve das folgende: Man beginnt mit der Unterteilung eines Quadrats in neun gleich große Quadrate, die in einer S-Kurve durchlaufen werden. Im nächsten Schritt wird jedes dieser Quadrate wieder unterteilt und die entstehenden Quadrate in S-Kurven durchlaufen, die als neue Kurve zusammengehängt werden:
Skaliert man die Kurven auf dieselbe Größe, erhält man als erste vier Schritte:
Setzt man dieses Verfahren der Rekursion fort, erhält man eine Folge von Kurven, die punktweise konvergiert.
Als Grenzwert erhält man die Peano-Kurve, auf der jeder Punkt des Ausgangsquadrats liegt und die unendlich lang ist.
Dieses Verfahren lässt sich leicht auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Auch liefert eine stetige surjektive Abbildung <math>f\colon I\to I^2</math> (mit <math>I=[0,1]</math>) wiederum stetige und surjektive Abbildungen <math>f\times\operatorname{id}_{I^{n-1}}\colon I^n\to I^{n+1}</math>, und durch Verkettung erhält man eine stetige Surjektion <math>I\to I^n</math> für jede natürliche Zahl <math>n</math>.
Weitere Peano-Kurven
Es existiert auch noch eine weitere flächenfüllende Kurve, die als „Peano-Kurve“ bekannt ist. Ihre Struktur entspricht der Cantor-Diagonalisierung. Dabei wird eine Strecke zwischen zwei Punkten durch das Gebilde der ersten Stufe ersetzt.
| Datei:Peano 1.GIF | Datei:Peano 2.GIF |
| Peano-Kurve der ersten Stufe | Peano-Kurve der zweiten Stufe |
Literatur
- Giuseppe Peano: Sur une courbe, qui remplit tout une aire plane. In: Mathematische Annalen. Band 36, 1890, S. 157–160 (sub.uni-goettingen.de).
Weblinks
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- Fraktale Dimension am Beispiel der Peano-Kurve. science.kairo.at
- Interaktive Demonstration der Peano-Kurve. wolframalpha.com