Gosper-Kurve

Eine Gosper-Kurve der Stufe 4.

Die Strecke zwischen dem roten und grünen Punkt wurde durch die Kurve der Stufe 1 ersetzt.

Die Gosper-Kurve ist eine fraktale und raumfüllende Kurve. Sie ist benannt nach Bill Gosper. Ähnlich wie die Drachenkurve und die Hilbert-Kurve wird sie durch Ersetzung erzeugt.

Algorithmen

Lindenmayer-System

Die Gosper-Kurve lässt sich durch ein Lindenmayer-System mit folgenden Eigenschaften beschreiben:

Winkel: 60°
Startstring: <math>A</math>
Ableitungsregeln:
- <math>A \mapsto A-B--B+A++AA+B-</math>
- <math>B \mapsto +A-BB--B-A++A+B</math>

Logo

Ein Programm zur Erzeugung der Gosper-Kurve in Logo: <syntaxhighlight lang="text">

to rg :st :ln
make "st :st - 1
make "ln :ln / 2.6457
if :st > 0 [rg :st :ln rt 60 gl :st :ln  rt 120 gl :st :ln lt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln rg :st :ln lt 60 gl :st :ln rt 60]
if :st = 0 [fd :ln rt 60 fd :ln rt 120 fd :ln lt 60 fd :ln lt 120 fd :ln fd :ln lt 60 fd :ln rt 60]
end

to gl :st :ln
make "st :st - 1
make "ln :ln / 2.6457
if :st > 0 [lt 60 rg :st :ln rt 60 gl :st :ln gl :st :ln rt 120 gl :st :ln rt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln lt 60 gl :st :ln]
if :st = 0 [lt 60 fd :ln rt 60 fd :ln fd :ln rt 120 fd :ln rt 60 fd :ln lt 120 fd :ln lt 60 fd :ln]
end

</syntaxhighlight>

Das Programm kann beispielsweise mit rg 4 300 aufgerufen werden. Alternativ auch mit gl 4 300.

Gosper-Insel

Datei:Gosper Island Tesselation 2.svg

Selbstähnlichkeit: Sieben kleine Gosper-Inseln fügen sich wieder zu einer großen Gosper-Insel zusammen.

Die von der Gosper-Kurve umschlossene Fläche heißt Gosper-Insel und ist eine Variante der Kochschen Schneeflocke. Die Fläche eignet sich zur Parkettierung der Ebene.

Weblinks

{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Gosper Island. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Über die Gosperkurve (PDF)
mathcurve.com