Rapidität (Physik)

Die Rapidität ist ein alternatives Maß für Geschwindigkeit, das in der speziellen Relativitätstheorie verwendet wird. Als Formelzeichen wird meist <math>\theta</math> (kleines Theta) verwendet. Erstmals formuliert wurde der Begriff im Jahr 1911 von Alfred Robb.

Die Rapidität ist definiert als

<math> \theta = \operatorname{artanh}(v/c),</math>

wobei

<math>v</math> die Geschwindigkeit und
<math>c</math> die Lichtgeschwindigkeit
<math>\operatorname{artanh}</math> die Areatangens-hyperbolicus-Funktion ist.

Die Rapidität misst die Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit, die ein beschleunigter Körper ohne relativistische Effekte hätte. Die Rapidität ist daher unbeschränkt (Wertebereich <math>\theta = (-\infty,+\infty)</math>), was eine natürlichere Betrachtungsweise darstellt als die Beschränkung der tatsächlichen Geschwindigkeit, die niemals die Lichtgeschwindigkeit überschreiten kann (Wertebereich <math>v = (-c,+c)</math>).

Außerdem hat die Rapidität den Vorteil, dass zwei Rapiditäten einfach addiert werden können, während man bei Geschwindigkeiten das relativistische Additionstheorem verwenden muss.<ref>Theoretische Physik, Seite 327 von Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf, Springer-Verlag, 2014, abgerufen am 19. Februar 2016.</ref>

Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten nähert sich die Rapidität dem Wert von <math>\frac{v}{c}</math> an:

<math>v \ll c \Leftrightarrow v/c \ll 1 \Rightarrow \theta \approx v/c.</math>

In der Teilchenphysik

Anstelle der exakten Formel

<math>\theta = \frac{1}{2} \cdot \ln \left( \frac{1 + \beta}{1 - \beta} \right) = \frac{1}{2} \cdot \ln \left( \frac{E + c p}{E - c p} \right)</math>

mit

<math>\beta = v/c</math>
Energie <math>E</math>
Impuls <math>p = |\vec p|</math>

wird in der experimentellen Teilchenphysik oft eine relativ zur Strahlachse definierte Rapidität gemäß

<math>\theta_{\text{Beamline}} = \frac{1}{2} \cdot \ln \left( \frac{E + c p_L}{E - c p_L} \right)</math>

verwendet, worin der Longitudinalimpuls <math>p_L</math> die Impulskomponente entlang der Strahlachse ist.

Die verwandte Größe der Pseudorapidität ist definiert als<ref>Theoretische Physik, Seite 372 von Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf, Springer-Verlag, 2014, abgerufen am 19. Februar 2016.</ref>

<math>\eta = \frac{1}{2} \cdot \ln \left( \frac{p + p_L}{p - p_L} \right).</math>

Einzelnachweise