Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten

Das Relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten besagt, wie die Geschwindigkeit <math>\vec u</math> eines Objekts in einem bestimmten Bezugssystem zu bestimmen ist, wenn sich das Objekt mit einer Geschwindigkeit <math>\vec u'</math> gegenüber einem zweiten Bezugssystem bewegt, das sich selbst gegenüber dem ersten mit einer Geschwindigkeit <math>\vec v</math> bewegt. Das Theorem kann aus der Lorentztransformation für gegeneinander bewegte Inertialsysteme hergeleitet werden.

In der klassischen Mechanik werden Geschwindigkeiten vektoriell addiert (<math>\vec u = \vec u' + \vec v </math>) und haben daher keine obere Schranke. Da aber nach der speziellen Relativitätstheorie die Geschwindigkeit eines Objekts die Lichtgeschwindigkeit <math>c</math> nicht überschreiten kann, können die klassischen Gleichungen nur eine Näherung sein. Unterschiede machen sich bemerkbar, wenn eine oder beide der zu addierenden Geschwindigkeiten nicht mehr vernachlässigbar klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sind.

Das Relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten ist durch Messungen bestätigt worden.

Definition

Datei:Relativistisches Additionstheorem.svg

Diagramm zur relativistischen Addition der gleichgerichteten Geschwindigkeiten <math>u_x'</math> und <math>v,</math>
jeweils ausgedrückt in Bruchteilen der Lichtgeschwindigkeit <math>c.</math> Die Konturlinien zeigen die resultierende Geschwindigkeit <math>u_x</math> in Schritten von 0,1 c bis 0,9 c, dann 0,95 c, 0,98 c und 0,99 c. Ablesen kann man den Wert von <math>u_x</math> an den Endpunkten der Konturlinien auf den Achsen. Je größer die beiden Ausgangsgeschwindigkeiten, desto stärker weicht das Ergebnis von der arithmetischen Addition ab (die einer geraden Linie entspräche). Die resultierende Geschwindigkeit wird die Lichtgeschwindigkeit niemals überschreiten. Zum Beispiel addieren sich 0,8 c und 0,625 c zu 0,95 c.

Ein Beobachter <math>\mathcal{B}^\prime</math> bewege sich gegenüber dem Beobachter <math>\mathcal{B}</math> mit der Geschwindigkeit <math>v</math> in Richtung der <math>x</math>-Achse. Für den Beobachter <math>\mathcal{B}^\prime</math> bewege sich ein Körper mit der Geschwindigkeit <math>\vec u' = (u^\prime_x, u^\prime_y, u^\prime_z) \, .</math> Dann hat dieser Körper für den Beobachter <math>\mathcal{B}</math> die Geschwindigkeit <math>\vec u</math> mit den Komponenten

<math>u_x = \dfrac{u_x' + v}{1 + \frac{u_x' \, v}{c^2}} </math>

<math>u_y = \dfrac{u_y' \sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}{1 + \frac{u_x' \, v}{c^2}} = u_y' \, \dfrac{1}{\gamma \left(1 + \frac{u_x' \, v}{c^2}\right)}</math>

<math>u_z = \dfrac{u_z' \sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}{1 + \frac{u_x' \, v}{c^2}} = u_z' \, \dfrac{1}{\gamma \left(1 + \frac{u_x' \, v}{c^2}\right)}</math>

mit

der Lichtgeschwindigkeit <math>c</math> und
dem Lorentz-Faktor <math display="inline">\gamma = 1/\sqrt{1 - (v/c)^2} </math>

Man kann diese Gleichungen einfacher formulieren, wenn man die Geschwindigkeiten auf <math>c</math> normiert. Mit

<math> \vec\beta = \frac{\vec u}{c} \qquad \vec\beta' =\frac{\vec u'}{c} \qquad \beta_r = \frac v c </math>

erhält man:

<math> \beta_x = \frac{\beta_x' + \beta_r}{1 + \beta_x' \beta_r} \qquad \beta_y = \frac 1 \gamma \cdot \frac{\beta_y'}{1 + \beta_x' \beta_r} \qquad \beta_z = \frac 1 \gamma \cdot \frac{\beta_z'}{1 + \beta_x' \beta_r} </math>.

Koordinatenfrei ausgedrückt: Die resultierende Geschwindigkeit <math>\vec u</math> ergibt sich, ausgehend von der galileischen einfachen Addition <math>\vec u = \vec u'+ \vec v</math> der Geschwindigkeiten <math>\vec u'</math> und <math>\vec v</math>, mit den folgenden Modifikationen:

Die Geschwindigkeit <math>\vec u</math> ist um den Faktor <math>1 + \tfrac{\vec u' \cdot \vec v}{c^2}</math> (bzw. <math>1 + {\vec\beta' \cdot \vec\beta_r}</math>) kleiner (hierbei ist <math>\vec u' \cdot \vec v</math> das Skalarprodukt),
Die Komponenten der Geschwindigkeit <math>\vec u</math> senkrecht zu <math>\vec v</math> sind zusätzlich um den Faktor <math>\gamma</math> kleiner.

Konsequenzen

Alltägliche Geschwindigkeiten

Sind die beteiligten Geschwindigkeiten sehr klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit

<math>v \ll c \;\Leftrightarrow\; \frac{v}{c} \ll 1 \,,</math>

so unterscheidet sich der Nenner (und auch der Term unter der Wurzel im Zähler) kaum von 1

<math>\Rightarrow 1 + \frac{u_x' \, v}{c^2} \approx 1 \,, \qquad \sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right) ^2} = \frac{1}{\gamma} \approx 1 \,,</math>

und es ergibt sich in guter Näherung die klassische nichtrelativistische Geschwindigkeitsaddition:

<math>\begin{align}

\Rightarrow u_x & \approx u_x' + v\\

           u_y & \approx u_y'\\
           u_z & \approx u_z' \,.

\end{align}</math>

Beispiel: In einem mit <math>v = 200\;\mathrm{km/h}</math> fahrenden Zug <math>\mathcal{B}^\prime</math> läuft eine Person mit <math>u^\prime_x = 5\ \mathrm{km/h}</math> relativ zum Zug in Fahrtrichtung. Die von einem am Bahndamm stehenden Beobachter <math>\mathcal{B}</math> gemessene Geschwindigkeit <math>u_x</math> der Person ist gerade mal um 0,17 nm/h langsamer als die bei einfacher Addition erhaltenen <math>u^\prime_x + v = 205\ \mathrm{km/h}</math>. Zum Vergleich: Der Durchmesser eines Atoms liegt in der Größenordnung von 0,1 nm. Das heißt, der „Zugläufer“ kommt in der Stunde knapp zwei Atomdurchmesser weniger weit, als man es bei nichtrelativistischer Rechnung erwarten würde.

Relativistische Geschwindigkeiten

Für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit ergeben sich hingegen deutliche Abweichungen von der nichtrelativistischen Additionsregel. Es seien

Dann ist

und nicht etwa 1,5c.

Lichtgeschwindigkeit

Ist die Geschwindigkeit <math>\vec u</math> für den Beobachter <math> \mathcal{B}^\prime</math> gleich der Lichtgeschwindigkeit, dann ist sie es auch für den Beobachter <math>\mathcal{B}.</math>

Sind zum Beispiel

dann ergeben sich

<math>u_x = v\,, \quad u_y = c / \gamma\,, \quad u_z = 0\,.</math>

Damit folgt

<math>\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2} = \sqrt{v^2 + c^2\left( 1 - \tfrac{v^2}{c^2} \right)} = \sqrt{c^2} = c \,.</math>

Die spiegelt die Tatsache wider, dass die Geschwindigkeit des Lichts im Vakuum für alle Beobachter gleichermaßen c ist.

Herleitung

Um das Formelbild zu vereinfachen, werden alle Geschwindigkeiten als Vielfache der Lichtgeschwindigkeit in natürlichen Einheiten angegeben. Dann haben Zeit und Länge dieselbe Maßeinheit und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit beträgt <math>c = 1.</math>

Aus der inversen Lorentz-Transformation (Ersatz von <math>v</math> durch <math>-v</math>)

folgt für die Differentiale, da die Transformation linear ist,

<math>\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}t' + v\,\mathrm{d}x'}{\sqrt{1 - v^2}}\ ,\quad

\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}x' + v\,\mathrm{d}t'}{\sqrt{1 -v^2}}\ ,\quad \mathrm{d}y = \mathrm{d}y'\ ,\quad \mathrm{d}z = \mathrm{d}z'\,.</math>

Daher folgt für die Geschwindigkeiten, die der Beobachter <math>\mathcal{B}</math> ermittelt,

<math>u_x=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =

\frac{\mathrm{d}x' + v\,\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t' + v\, \mathrm{d}x'} = \frac{\frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'} + v} {1 + v\, \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}} = \frac{u_x' + v}{1 + v\, u_x'}\ , </math>

<math>u_y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} =

\frac{\mathrm{d}y'\sqrt{1 - v^2}}{\mathrm{d}t' + v\, \mathrm{d}x'} = \frac{\frac{\mathrm{d}y'}{\mathrm{d}t'}\sqrt{1 - v^2}} {1 + v\, \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}} = \frac{u_y'\sqrt{1 -v^2}}{1 + v\, u_x'}\ , </math>

<math>u_z=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} =

\frac{\mathrm{d}z'\sqrt{1 - v^2}}{\mathrm{d}t' + v\, \mathrm{d}x'} = \frac{\frac{\mathrm{d}z'}{\mathrm{d}t'}\sqrt{1 - v^2}} {1 + v\, \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}} = \frac{u_z'\sqrt{1 -v^2}}{1 + v\, u_x'}\ .</math>

Aufgelöst nach den gestrichenen Variablen ergeben sich folgende Beziehungen:

<math>u_x'= \frac{u_x - v}{1 - v\, u_x}\ , \quad

u_y'= \frac{u_y\sqrt{1 - v^2}}{1 - v\, u_x}\ , \quad u_z'= \frac{u_z\sqrt{1 - v^2}}{1 - v\, u_x}\ . </math>

Weblinks

Wikibooks: Spezielle Relativitätstheorie – Lern- und Lehrmaterialien