Lorentz-Faktor

Der Lorentz-Faktor <math>\gamma</math> als Funktion der Relativgeschwindigkeit <math>v</math>

Der Graph des reziproken Lorentz-Faktors <math>1/\gamma</math> als Funktion von <math>v/c</math> ist ein Viertelkreis.

Der dimensionslose Lorentz-Faktor <math>\gamma</math> (gamma) beschreibt in der speziellen Relativitätstheorie die Zeitdilatation sowie den Kehrwert der Längenkontraktion bei der Koordinatentransformation zwischen relativ zueinander bewegten Inertialsystemen. Er wurde von Hendrik Antoon Lorentz im Rahmen der von ihm ausgearbeiteten Lorentz-Transformation entwickelt, die die mathematische Grundlage der speziellen Relativitätstheorie bildet.

Wenn die Geschwindigkeit so hoch ist, dass sie einige Prozent der Lichtgeschwindigkeit beträgt („relativistische Geschwindigkeit“), weicht der Lorentz-Faktor signifikant von Eins ab und relativistische Effekte müssen berücksichtigt werden.

Definition

Der Lorentz-Faktor ist definiert als:

<math>\gamma = \frac 1 {\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right) ^2}} </math>

<math>v</math> bezeichnet die Relativgeschwindigkeit zweier Bezugssysteme.
Die Lichtgeschwindigkeit <math>c</math> ist eine vom Bezugssystem unabhängige Naturkonstante.

Zur Vereinfachung von Formeln gibt man die Relativgeschwindigkeit oft als Bruchteil <math>\beta</math> der Lichtgeschwindigkeit an. Mit

schreibt sich der Lorentz-Faktor als

<math>\gamma = \frac 1 {\sqrt{1 - \beta ^2}}</math>.

Für relativ zueinander ruhende Bezugssysteme gilt

<math>\left .

  \begin{array}{c} v = 0 \\ \beta=0 \end{array}
   \right\rbrace  \ \Rightarrow \;\gamma = 1

</math>.

Ist <math>v \neq 0</math>, aber klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit, also

<math>v \ll c \ \ \text{bzw.} \ \ \beta \ll 1</math>,

so wird durch eine Taylor-Entwicklung

<math>\gamma = 1 + \frac 12 \beta^2 + \frac 38 \beta^4 + \mathcal O\left(\beta^6\right)</math>.

In welcher Ordnung die Entwicklung in der klassischen Physik abgebrochen werden kann, ist nicht allgemein zu beantworten. Für die meisten Anwendungen kann <math>\gamma</math> als konstant Eins angenommen werden, für die kinetische Energie entspricht die Entwicklung bis zur ersten Ordnung (<math>\beta^2</math>) dem Wert der newtonschen Physik, denn <math>\tfrac 1 2 \beta^2\cdot mc^2 = \tfrac 1 2 mv^2</math>.

Lorentz-Faktor in Abhängigkeit von der Energie

Der Lorentz-Faktor lässt sich angeben als:

<math> \gamma = \frac{E_\mathrm{kin}}{E_0} + 1 = \frac{E_\mathrm{gesamt}}{E_0} </math>

mit

der kinetischen Energie <math>E_\mathrm{kin}</math> des betrachteten Objektes
seiner Ruheenergie<ref name="m-invar" group="A" /> <math>E_0 = mc^2</math> und
der gesamten Energie <math>E_\mathrm{gesamt} = E_0 + E_\mathrm{kin}</math>.

Lorentz-Faktor in Abhängigkeit vom Impuls

Mit dem relativistischen Dreierimpuls <math>\vec p</math> eines Objekts der Masse<ref name="m-invar" group="A" /> <math>m\,</math> hängt der Lorentz-Faktor wie folgt zusammen:

<math>\vec p = \gamma m \vec v</math>

und

<math>\gamma = \sqrt {1 + \left( \frac{\vec p}{m c} \right) ^2}</math>.

Dass der Zusammenhang vom <math>\gamma\,</math> mit der Energie und dem Impuls äquivalent sind, erkennt man durch Einsetzen in die Energie-Impuls-Relation:

<math>\vec p^2 = E^2/c^2 - m^2c^2 = \underbrace{(\gamma^2 -1)\cdot c^2}_{\left(\frac{1}{1-\beta^2}-\frac{1-\beta^2}{1-\beta^2}\right)c^2=\beta^2 c^2\gamma^2} \!\!\!\cdot \, m^2 =\gamma^2v^2 m^2 </math>

Lorentz-Faktor bei Beschleunigungen

Die zeitliche Ableitung von <math>\gamma</math> ist interessant, um die relativistische Form des zweiten newtonschen Gesetzes <math>\vec F = m \vec a</math> für Beschleunigungen in Bewegungsrichtung zu formulieren, da die relativistisch korrekte Beziehung <math>\vec F = \tfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \vec p</math> über den Impuls lautet.

Aus <math>\vec p = \gamma m \vec v</math> folgt direkt:

<math>\vec F = m \vec v\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \gamma + \gamma m \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec v + \underbrace{\gamma \vec v \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}m}_{=0}.</math>

Der dritte Summand ist null, weil die Masse sich bei Beschleunigung nicht ändert.<ref name="m-invar" group="A">Wie in der deutschen Wikipedia generell üblich verwenden wir nicht das Konstrukt der relativistischen Massenzunahme.</ref> Mit der zeitlichen Ableitung des Lorentz-Faktors

<math> \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\gamma = \gamma^3 \frac{\vec v}{c} \cdot \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\vec v}{c}</math>

erhält man die folgende Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\vec F = m \gamma^3 \left( \frac{\vec v}{c} \cdot \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\vec v}{c} \right) \vec v + \gamma m \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \vec v\,.</math>

Anmerkungen

Einzelnachweise