Relativistische Massenzunahme

Die relativistische Massenzunahme ist ein Konzept aus der Frühzeit der speziellen Relativitätstheorie. Abweichungen von der klassischen (Newton’schen) Mechanik werden dadurch beschrieben, dass man Objekten eine variable Masse (relativistische Masse) zuweist, die von der Geschwindigkeit relativ zum Beobachter abhängig ist und bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit beliebig groß wird. Den Wert im Ruhesystem (Relativgeschwindigkeit Null) bezeichnet man als Ruhemasse.

Auf diese Weise lässt sich zum Beispiel die relativistische Zunahme von Impuls und kinetischer Energie bei sehr hohen Geschwindigkeiten einfach und korrekt beschreiben. In anderen Fällen jedoch, etwa bei der Trägheit in longitudinaler Richtung, führt das Einsetzen der relativistischen Masse in die klassischen Formeln zu falschen Ergebnissen.

In der modernen Fachliteratur hat sich die Definition der Masse als invariante, vom Beobachter unabhängige Eigenschaft weitgehend durchgesetzt. Vor allem im populärwissenschaftlichen Bereich ist die {{#if:trim|relativ(istisch)e Masse}} aber noch sehr präsent. Im Gegensatz zur relativistischen Zeitdilatation und Längenkontraktion, die man mit Uhren und Maßstäben objektiv und direkt messen kann, hängt die Bestimmung der Masse davon ab, wie man sie definiert. Daher gibt es kein „richtiges“ oder „falsches“ Modell.

Definition

Datei:Lorentz factor.svg

Der Lorentz-Faktor

Die relativistische Masse ist definiert als

<math>m_\text{rel}(v) = \ \frac{m_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}} = \gamma\cdot m_0 </math>.

Hierbei ist

• <math>m_0</math> die Ruhemasse,
• <math>c</math> die Lichtgeschwindigkeit,
• <math>v</math> die Relativgeschwindigkeit zwischen Objekt und Beobachter.

Der Lorentz-Faktor

<math>\gamma = \frac {1}{\sqrt{1-(v/c)^2}} </math>

beschreibt die relativistische Veränderung von Raum und Zeit (Lorentz-Kontraktion und Zeitdilatation). Für alltägliche Geschwindigkeiten (<math>v\ll c</math>) ist dieser Faktor ungefähr Eins, so dass relativistische Effekte vernachlässigbar sind. Bei Geschwindigkeiten im Prozentbereich der Lichtgeschwindigkeit („relativistischen Geschwindigkeiten“) steigt <math>\gamma</math> stark an und müsste bei <math>v=c</math> unendlich groß werden.

Motivation für die Verwendung der relativistische Masse

Aus dem Relativitätsprinzip mit der Grenzgeschwindigkeit <math>c</math> folgt, dass Raum und Zeit von der Relativgeschwindigkeit zum Beobachter abhängen. Dies wiederum bewirkt, dass auch die klassischen Gleichungen für Impuls und kinetische Energie

<math> \begin{array}{ll}

  \vec p & = \, m\,\vec v  \\
  E_\text{kin}  & =  \,\tfrac 1 2  m\,v^2 

\end{array} </math> nicht mehr exakt gelten. Sie lauten in der Relativitätstheorie (siehe relativistischer Impuls):

<math>\begin{array}{ll}

  \vec p & =  \,\gamma\,m\,\vec v \\
  E_\text{kin}  & = \, m c^2\cdot(\gamma -1 ).

\end{array}</math>

Mit der Ruheenergie

<math>E_0 = mc^2</math>

gilt dann für die Gesamtenergie:

<math>E = E_0 + E_\text{kin} = \gamma\, m\, c^2.</math>

Im nicht-relativistischen Fall gehen diese Gleichungen in die Formeln der klassischen Physik über, denn für <math>v\ll c</math> gelten die Näherungen <math display="inline">\gamma \approx 1 </math> und <math display="inline">\gamma - 1 \approx \frac 1 2 \left ( \frac v c \right )^2</math>. Bei hohen Geschwindigkeiten hingegen geht eine weitere Erhöhung der Geschwindigkeit mit einer deutlich größeren Zunahme von Impuls und Energie einher, als nach den klassischen Formeln zu erwarten wäre. Man kann dies so interpretieren, dass die klassischen Formeln weiterhin gelten, aber die Masse des Objekts zunimmt und im Grenzfall <math>v\to c</math> gegen unendlich geht.

Vergleich mit der Masse als invarianter Größe

	moderne Konvention: Masse ist invariant	traditionelle Konvention: Masse ist relativ
invariante Masse	<math>m</math> „Masse“	<math>m_0</math> „Ruhemasse“
relativistische Masse	—	<math>m = m_\text{rel} = \gamma\, m_0</math> „Masse“
Impuls	<math>\vec p = \gamma\,m\,\vec v</math>	<math>\vec p = m \,\vec v</math>
Ruheenergie	<math>E_0 = m\, c^2</math>	<math>E_0 = m_0 c^2</math>
Gesamtenergie	<math>E = \gamma \, m\, c^2</math>	<math>E = m\, c^2</math>
kinetische Energie	<math>E_\text{kin} = (\gamma - 1) m c^2</math> <math> = E - mc^2 \quad</math>	<math>E_\text{kin} = (\gamma - 1) m_0 c^2</math> <math>= (m-m_0)c^2 \,</math>

Es gibt also zwei konkurrierende Konventionen der Masse, die im Folgenden „modern“ und „traditionell“ genannt werden sollen:

• moderne Konvention: Es gibt nur eine „Masse“ <math>m</math>. Diese ist invariant.
• traditionelle Konvention: Man unterscheidet zwischen „Ruhemasse“ <math>m_0</math> (invariant) und „relativistischer Masse“ <math>m_\text{rel}</math> (relativ).

Bei Verwendung der traditionellen Konvention wird die relativistische Masse oft verkürzt als „Masse“ <math>m</math> bezeichnet. So spricht man beispielsweise von „relativistischer Massenzunahme“ (also relativistischer Zunahme der Masse) und nicht von der „Zunahme der relativistischen Masse“. Dies kann zu Verwirrung führen, weil <math>m</math> dadurch je nach Konvention unterschiedliche Dinge bezeichnet.

In der Tabelle sind einige Formeln vergleichend aufgeführt, wobei hier bewusst auch die relativistische Masse mit <math>m</math> bezeichnet wird, um die möglichen Missverständnisse aufzuzeigen. Besonders auffällig ist die Fehlerquelle bei der populären Formel zur Äquivalenz von Masse und Energie: die Formel <math>E=mc^2</math> ist nur in der traditionellen Konvention richtig (es sei denn, man deklariert <math>E</math> explizit als Ruheenergie); in moderner Konvention muss sie <math>E_0=mc^2</math> lauten.

Umgekehrt spiegelt die Energie-Impuls-Relation in der Form

<math>E^2 - \vec p^2c^2 = m^2c^4</math>

die moderne Konvention wider. Die Masse ist hier der Betrag (die Länge) des vierdimensionalen Energie-Impuls-Vektors <math>(E/c, \vec p)</math>, ein skalarer Wert, der in allen Bezugssystemen gleich ist. In der traditionellen Konvention ist die Masse <math>m</math> die nullte Komponente dieses Vektors,<ref name="TaylorWheeler88" /> und man könnte schreiben: <math>m^2c^4 - \vec p^2c^2 = m_0^2c^4</math>

Da die relativistische Masse äquivalent zur Gesamtenergie ist, bleibt sie bei allen Vorgängen erhalten. Für die Masse nach moderner Definition hingegen gilt dies nur in geschlossenen Systemen. Beispielsweise ist beim Alphazerfall <math display="inline">{}^{238}\mathrm{U} \to {}^{234}\mathrm{Th}+\alpha</math> die Masse des Urankerns gleich der Summe der relativistischen Massen von Thoriumkern plus Alphateilchen, aber größer als deren Massen nach moderner Definition. Die Differenz entspricht der freigesetzten kinetischen Energie.

In der Chemie sind solche Massenänderungen unmessbar klein. Daher kann man für alle praktischen Zwecke den Massenerhaltungssatz verwenden, auch wenn er mit der modernen Definition der Masse nicht exakt gilt.

Masselose Teilchen

Auf Photonen (und masselose Teilchen generell) sind die obigen Überlegungen nicht anwendbar. Für Photonen gibt es kein Ruhesystem, die Relativgeschwindigkeit zum Beobachter ist immer c und wegen <math>1/\gamma = 0</math> ist der Lorentz-Faktor nicht definiert.

Andererseits übertragen Photonen Energie und Impuls

<math>E=h\cdot\nu \quad\qquad |\vec p| = \frac E c = \frac{h\cdot\nu}{c}\,, </math>

wobei die Frequenz <math>\nu</math> und damit Energie und Impuls von der Relativgeschwindigkeit der Photonenquelle zum Beobachter abhängig sind (relativistischer Doppler-Effekt). Mit den oben genannten Einschränkungen könnte man daher formal auch dem Photon eine relativistische Masse

<math>m_\text{rel} = \frac{h\cdot\nu}{c^2}</math>

zuordnen.

Diese „relativistische Photonenmasse“ führt jedoch leicht in die Irre. So ist die Ablenkung des Lichts im Schwerefeld keineswegs als Massenanziehung zu deuten, und die Vorstellung, ein Schwarzes Loch könne Photonen emittieren, die aufgrund der übergroßen Schwerkraft nur eine gewisse Höhe erreichen und dann wieder zurückfallen, ist völlig falsch.<ref name="Thorne" />

Vorteile des Konzepts

Mit der relativistischen Masse kann man für die Impuls-Geschwindigkeit-Beziehung weiterhin die newtonsche Formel <math> \vec p = m \cdot \vec v</math> verwenden, denn im bewegten System gilt:

<math>\vec p = m_\text{rel}\cdot \vec v</math>.

Für die gesamte Energie <math>E</math> einschließlich der (vom Bezugssystem abhängigen) kinetischen Energie gilt:

<math>E = m_\text{rel} \cdot c^2\,.</math>

„Die Masse entspricht der Energie“ und „die Ruhemasse entspricht der Ruheenergie“ ist leichter zu kommunizieren als „die Masse entspricht der Ruheenergie“. Weiterhin kann man didaktisch recht einfach argumentieren: „Die Trägheit eines Objekts nimmt mit wachsender Geschwindigkeit zu, weil die Masse zunimmt.“ und: „Lichtgeschwindigkeit ist für massebehaftete Objekte unerreichbar, weil dann die Masse und damit die erforderliche Energie unendlich groß sein müssten.“<ref name="Hawking" /> Die Rückführung dieser Phänomene auf die Raum-Zeit-Geometrie (Viererimpuls) ist hierfür nicht nötig.

Nachteile des Konzepts

Mit dem Begriff „relativistische Massenzunahme“ wird der Anschein erweckt, es gäbe gleichberechtigt drei relative Größen: Raum, Zeit und Masse. Dies ist aber nicht der Fall: Die relativistische Längenkontraktion und Zeitdilatation sind Konsequenzen der Raumzeit-Geometrie, die sich mit Maßstäben und Uhren direkt und objektiv messen lassen; Massenänderungen hingegen können nur geschlussfolgert werden und sind letztlich eine Frage der Definition von „Masse“.

Mit der relativistischen Masse kann man die Newton’sche Beziehung <math>\,\vec p = m_\text{rel} \cdot \vec v \,</math> zwar „retten“, ins zweite newtonsche Gesetz eingesetzt bringt sie aber in der Regel falsche Ergebnisse hervor. Dies ergibt sich aus der Definition der Kraft <math>\vec{F}</math> als die zeitliche Änderung des Impulses:

<math>\vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}

 = \frac{\mathrm{d}(m\gamma\vec{v})}{\mathrm{d}t}
 = m\gamma\frac{\mathrm d \vec v }{\mathrm d t} + m\frac{\mathrm d \gamma}{\mathrm d t}\vec v 
 = \underbrace{\gamma\,m}_{m_\text{rel}}\,\vec a + \gamma^3\, m \,\frac{\vec v \cdot\vec a}{c^2} \,\vec v</math>.

Der Punkt symbolisiert hierbei das Skalarprodukt, das null ist, wenn beide Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Diese Formel lässt sich umstellen zu

<math>\vec{a} = \frac 1{\gamma\,m}\vec F - \frac 1{\gamma\,m}\frac 1 {c^2} \left( \vec v \cdot \vec F \right) \vec v \,.</math>

Die Beschleunigung <math>\vec a</math> hat also zwei Komponenten: eine in Richtung der Kraft (wie in der Newton’schen Physik) und zusätzlich eine in Richtung der Geschwindigkeit. Letztgenannte ist nur dann null, wenn die Kraft senkrecht zur Geschwindigkeit (transversal) einwirkt, zum Beispiel in einem Zyklotron. Nur in diesem Fall ist die Beziehung <math>\vec{F} = m_\text{rel} \cdot \vec{a}\,</math> korrekt. Bei longitudinaler Krafteinwirkung ist die Beschleunigung zwar ebenfalls parallel zur Kraft, aber um einen Faktor <math>1/\gamma^2</math> geringer als bei transversaler. Diese unterschiedliche Trägheit hatte man bei der Entwicklung der Relativitätstheorie anfangs mit den Begriffen der „longitudinalen Masse“ <math>\gamma^3 m_0</math> und „transversalen Masse“ <math>\gamma\, m_0</math> zu erfassen versucht,<ref name="lorentz1904" /> die aber heute so nicht mehr verwendet werden.<ref name="Oas" /> Bereits 1921 gab Wolfgang Pauli in seinem Werk „Relativitätstheorie“ die longitudinale Masse auf, behielt jedoch die transversale Masse als „Masse“ (im Sinne von „relativistischer Masse“).<ref name="Okun1989" /> (Siehe auch Beschleunigung (spezielle Relativitätstheorie) und Viererkraft)

Die scheinbar didaktisch einfache Erklärung „Die Massenzunahme entspricht der Energie, die man zur Beschleunigung aufgewendet hat.“ ist unverträglich mit dem Relativitätsprinzip: Aus Sicht eines schnellen Raumschiffs, das an der Erde vorbeifliegt, hätte die Masse des gesamten Planeten um den Faktor <math>\gamma</math> zugenommen.

Die relativistische Masse kann zwar erklären, warum ein Körper mit Masse die Lichtgeschwindigkeit nicht erreichen kann, versagt aber bei der Erklärung des relativistischen Additionstheorems für Geschwindigkeiten.<ref name="Oas" />

Frühere und heutige Verwendung des Konzepts

Da es sich um eine Konvention handelt, kann die Frage, welches Konzept „richtig“ ist, nicht experimentell entschieden werden. In der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts existierten in der Fachwelt beide Begrifflichkeiten nebeneinander. Im weiteren Verlauf setzte sich aber mehr und mehr die Konvention durch, dass „Masse“ eine vom Bezugssystem unabhängige Eigenschaft des Teilchens oder Systems bezeichnet.<ref name="Okun1989" /><ref name="Noack1998" /> Einstein selbst begründete die Wortwahl im Jahre 1948:

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}}</math> eines bewegten Körpers zu sprechen, da für <math>M</math> keine klare Definition gegeben werden kann. Man beschränkt sich besser auf die „Ruhe-Masse“ <math>m</math>. Daneben kann man ja den Ausdruck für momentum [Impuls] und Energie geben, wenn man das Trägheitsverhalten rasch bewegter Körper angeben will.

|Autor=Albert Einstein
|Quelle=Brief an Lincoln Barnett, Autor des Buches The Universe and Doctor Einstein
|ref=<ref name="Okun1989" />}}

In der Fachsprache wird heute meist diese moderne Begrifflichkeit verwendet. Um dies zu verdeutlichen, spricht man manchmal auch von invarianter Masse, einem Begriff aus der Teilchenphysik, der der Schwerpunktsenergie eines Systems mehrerer Teilchen entspricht. Die traditionelle Begrifflichkeit von „relativistischer Massenzunahme“ und „Ruhemasse“ ist aber in populärwissenschaftlicher Literatur, in Schulbüchern<ref name="Kniesel" /><ref name="Apolin" /><ref name="Grehn" /> und sogar in einigen modernen Lehrbüchern der theoretischen Physik<ref name="dInverno" /><ref name="Rebhahn" /> noch präsent. Eine Untersuchung aus dem Jahr 2008 ergab, dass in Publikationen aller Art das Konzept der „relativistischen Masse“ in der Mehrheit war, es aber seit ungefähr den 1970er Jahren einen deutlichen Trend hin zur Masse als invarianter Eigenschaft gibt.<ref name="Oas" />

In der deutschsprachigen Wikipedia wird durchweg die Konvention der Masse als invarianter Größe verwendet.

Zitate

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Siehe auch

• Elektromagnetische Masse

Literatur

• Torsten Fließbach: Die relativistische Masse, Springer Spektrum; 1. Aufl. 2018, ISBN 978-3-662-58083-7
• Edwin F. Taylor, John A. Wheeler: Spacetime Physics 2nd Ed. W. H. Freeman and Company, New York 1992. ISBN 978-0-71672-327-1. Kostenfreier Download: [1] (PDF)

Weblinks

• Lew Borissowitsch Okun: The Concept of Mass in the Einstein Year. (arXiv). PDF, 175 kB.

Einzelnachweise

<references> <ref name="Apolin"> Martin Apolin: Big Bang 2. Ernst Klett Verlag 2019, ISBN 978-3-12-767004-2 </ref> <ref name="Grehn"> Grehn, Joachim; Krause, Joachim: Metzler Physik 11, Ausgabe Bayern. Westermann 2009, ISBN 978-3-507-10705-2 </ref> <ref name="Hawking"> Stephen Hawking: A Brief History of Time (Bantam, New York, 1988): „Because of the equivalence of energy and mass, the energy which an object has due to its motion will add to its mass. In other words, it will make it harder to increase its speed.“ – Eine kurze Geschichte der Zeit (Rowohlt, 1988, ISBN 3-498-02884-7): „Infolge der Äquivalenz von Energie und Masse muss die Energie, die ein Objekt aufgrund seiner Bewegung besitzt, zu seiner Masse hinzugerechnet werden. Mit anderen Worten: Sie erschwert es ihm, seine Geschwindigkeit zu steigern.“ </ref> <ref name="dInverno"> Ray d’Inverno: Einführung in die Relativitätstheorie. Dt. Ausgabe, hrsg. von Gerhard Schäfer, VCH-Verlagsgesellschaft (1995) </ref> <ref name="lorentz1904"> H.A. Lorentz, Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light, in: KNAW, Proceedings, 6, 1903–1904, Amsterdam, 1904, pp. 809–831 </ref> <ref name="Kniesel"> Kniesel et al.: Physik Oberstufe - Quanten-, Atom- und Kernphysik, Relativitätstheorie, Astrophysik. Klett 2021, ISBN 978-3-12-773007-4 </ref> <ref name="Noack1998"> Cornelius C. Noack: {{#if:20141002212735

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       }}
  }} (PDF; 279 kB), abgerufen am 28. Mai 2015.

</ref> <ref name="Oas"> Gary Oas, On the abuse and use of relativistic mass, Education Program for Gifted Youth, Stanford University (2008) doi:10.48550/arXiv.physics/0504110 </ref> <ref name="Okun1989"> Lev B. Okun: The Concept of Mass. In: Physics Today. 43, 32 (1989). doi:10.1063/1.881171 PDF, abgerufen am 22. Dezember 2016. </ref> <ref name="Rebhahn"> Eckhard Rebhahn: Theoretische Physik: Relativitätstheorie und Kosmologie, Spektrum Akademischer Verlag, Berlin Heidelberg (2012) </ref> <ref name="TaylorWheeler88"> Edwin F. Taylor, John A. Wheeler: Spacetime Physics 2nd Ed. W. H. Freeman and Company, New York 1992. ISBN 978-0-71672-327-1. Kap. 8.8 Summary: Use and abuse of the concept of mass.
„The concept of “relativistic mass” is subject to misunderstanding. That’s why we don’t use it. First, it applies the name mass — belonging to the magnitude of a 4-vector — to a very different concept, the time component of a 4-vector. Second, it makes increase of energy of an object with velocity or momentum appear to be connected with some change in internal structure of the object. In reality, the increase of energy with velocity originates not in the object but in the geometric properties of spacetime itself.“ </ref> <ref name="Thorne"> Kip S. Thorne: Gekrümmter Raum und verbogene Zeit. Einsteins Vermächtnis. Bechtermünz, Augsburg 1999, ISBN 3-8289-3400-5 </ref> </references>