Pentagonikositetraeder
Das Pentagonikositetraeder ist ein chirales Polyeder, das sich aus 24 unregelmäßigen Fünfecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist der duale Körper zum abgeschrägten Hexaeder und hat 38 Ecken sowie 60 Kanten.
Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonikositetraeder.
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Spiegelvariante 1
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Spiegelvariante 2
Entstehung
Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Hexaeders zusammenstoßen, entsteht ein Sehnenfünfeck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Tangentenfünfecks, der Begrenzungsfläche des Pentagonikositetraeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 136°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.
Nachfolgend bezeichne der Term <math>t</math> den Kosinus des kleineren Zentriwinkels <math>\zeta</math> im zuvor erwähnten Sehnenfünfeck.<ref>t ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung 4t3 + 4t2 − 1 = 0. Wird zum doppelten Wert von t die Zahl 1 addiert, erhält man die Tribonacci-Konstante, welche den Limes des Verhältnisses (= 1,83928675521416…) zweier aufeinanderfolgenden Zahlen dieser Folge darstellt.</ref>
- <math> t = \cos \,\zeta = \frac{1}{6} \left(\sqrt[3]{19 + 3\sqrt{33}} + \sqrt[3]{19 - 3\sqrt{33}} -2 \right) </math>
Sei <math>d</math> die Kantenlänge des abgeschrägten Hexaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Tangentenfünfecks gegeben durch
- <math> a = \frac{d}{2} \sqrt{2+2t} </math>
- <math> b = \frac{d}{\sqrt{2+2t}} </math>
Daraus folgt:<ref>Mit a> sei die längere der beiden Seiten des Pentagonikositetraeders bezeichnet.</ref>
- <math> a = b\,(1+t) </math>
Verwandte Polyeder
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Dualer Körper: Abgeschrägtes Hexaeder
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Einbeschriebener Würfel
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Einbeschriebenes Oktaeder
Formeln
Für das Polyeder
| Größen eines Pentagonikositetraeders mit Kantenlänge a bzw. b<ref name="Formel">Diese Formeln gelten ausschließlich für den Fall b = a:(1+t) bzw. äquivalent dazu a = b·(1+t)</ref> | |
|---|---|
| Volumen<ref name="tformel">Diese Formel gilt auch für das Pentagonhexakontaeder sowie das Pentagondodekaeder, sofern man die entsprechenden Werte für b (kurze Seitenlänge), n (Anzahl der Begrenzungsflächen) sowie t (Kosinus des kleineren Zentriwinkels) einsetzt und ferner beachtet, dass O = n·A und V = 1/3·O·ρ ist.</ref> ≈ 12,45a3 ≈ 35,63b3 |
<math>V = \frac{4a^3(2+3t)\sqrt{1-2t}}{(1+t)(1-4t^2)} = \frac{2b^3(1+t)(2+3t)}{(1-2t^2)\sqrt{1-2t}}</math> |
| Oberflächeninhalt<ref name="tformel" /> ≈ 27,19a2 ≈ 54,8b2 |
<math>A_O = \frac{24a^2(2+3t)}{1+2t} \sqrt{\frac{1-t}{1+t}} = \frac{12b^2(2+3t)}{(1-2t^2)} \sqrt{1-t^2}</math> |
| Kantenkugelradius<ref name="tformel" /> | <math>r = \frac{a}{\sqrt{2\,(1+t)(1-2t)}} = b\,\sqrt{\frac{1+t}{2\,(1-2t)}} </math> |
| Inkugelradius<ref name="tformel" /> | <math>\rho = \frac{a}{2\sqrt{(1-2t)(1-t^2)}} = \frac{b}{2}\, \sqrt{\frac{1+t}{(1-t)(1-2t)}}</math> |
| Flächenwinkel<ref name="tformel" /> ≈ 136° 18′ 33″ |
<math> \cos \, \alpha= \frac{t}{t-1} </math> |
| Sphärizität ≈ 0,9556 |
<math> \Psi = \frac \sqrt [3] {36 \,\pi \,V^{2}} {A_O} </math> |
Für die Begrenzungsflächen
| Größen des Tangentenfünfecks<ref name="Formel" /> | |
|---|---|
| Flächeninhalt<ref name="tformel" /> | <math> A = \frac{a^2(2+3t)}{1+2t} \sqrt{\frac{1-t}{1+t}} = \frac{b^2(2+3t)}{2\,(1-2t^2)} \sqrt{1-t^2}</math> |
| Inkreisradius<ref name="tformel" /> | <math> r = \frac{a}{2\sqrt{1-t^2}} = \frac{b}{2}\,\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}</math> |
| Diagonale<ref name="tformel" /> <math>\|\, b</math> | <math> e = 2a\,(1-2t^2) = b\,(1+2t)</math> |
| Stumpfe Winkel<ref name="tformel" />(4) ≈ 114° 48′ 43″ |
<math> \cos \, \alpha = -t </math> |
| Spitzer Winkel (1) ≈ 80° 45′ 6″ |
<math> \cos \, \beta = 1 - 2t </math> |
Anmerkungen
<references />
Weblinks
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- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Pentagonikositetraeder. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
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