Stumpfer Winkel
Ein Winkel <math>\alpha</math> heißt stumpf, falls gilt:
- <math>90^\circ < \alpha < 180^\circ</math> (im Gradmaß) bzw.
- <math>\pi/2 < \alpha < \pi</math> (im Bogenmaß).
In der linearen Algebra heißt eine Familie von Vektoren stumpfwinklig, falls der Winkel zwischen je zwei dieser (verschiedenen) Vektoren stumpf ist. Die formale Definition lautet wie folgt:
Sei <math>S=\{v_1,v_2,...,v_k\} \subset \mathbb{R}^n</math> eine Familie von Vektoren und <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> das Standardskalarprodukt auf <math>\mathbb{R}^n</math>. Dann heißt S stumpfwinklig, falls gilt <math>\langle v_i,v_j\rangle<0</math>, für <math>1\leq i<j\leq k</math>.
Es lässt sich zeigen, dass eine stumpfwinklige Familie im <math>\mathbb{R}^n</math> höchstens <math>n+1</math> Vektoren enthalten kann.
Liegt eine symmetrische Konfiguration von <math>n+1</math> Vektoren im <math>\mathbb{R}^n</math> vor, so gilt für den Winkel <math>\varphi</math> zwischen je zwei (verschiedenen) Vektoren: <math>\varphi=\arccos\left(-\frac{1}{n}\right)</math>.
Im Fall <math>n=3</math> beispielsweise beschreibt eine symmetrische Konfiguration von vier Vektoren gleicher Länge ein reguläres Tetraeder. Daraus erhält man direkt den Tetraederwinkel <math>\tau=\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\approx109{,}47^\circ</math>.