Triakistetraeder

Vorlage:Infobox Polyeder Das Triakistetraeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 12 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist der duale Körper zum Tetraederstumpf und hat 8 Ecken sowie 18 Kanten.

Entstehung

Datei:Hexaeder Schnitt.png

Vierfach geschnittener Würfel

Datei:Triakis tetrahedron wireframe.stl

Drahtgittermodell eines Triakistetraeders

Werden auf alle 4 Begrenzungsflächen eines Tetraeders (mit Kantenlänge <math>a</math>) Pyramiden mit der Flankenlänge <math>b</math> aufgesetzt, entsteht ein Triakistetraeder, sofern die Bedingung <math>\tfrac{a}{3}\sqrt{3}<b<\tfrac{a}{2}\sqrt{2}</math> erfüllt ist.

• Für den zuvor genannten minimalen Wert von <math>b</math> haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Tetraeder mit der Kantenlänge <math>a</math> übrig bleibt.
• Das spezielle Triakistetraeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn <math>b = \tfrac{3}{5}a</math> ist.
• Nimmt <math>b</math> den o. g. maximalen Wert an, entartet das Triakistetraeder zu einem Würfel mit der Kantenlänge <math>b</math> (siehe Grafik links); dieser vierfach geschnittene Würfel – mit einem gedachten Tetraeder im Kern – ist topologisch gleichwertig zum Triakistetraeder.
• Überschreitet <math>b</math> den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet zu einem Sternkörper.

Formeln

Allgemein <math>\tfrac{a}{3}\sqrt{3}<b<\tfrac{a}{2}\sqrt{2}</math> Größen eines Triakistetraeders mit Kantenlängen a, b Volumen <math>V = \frac{a^2}{12} \left(a\sqrt{2}+4\sqrt{3b^2-a^2}\right) </math> Oberflächeninhalt <math>A_O = 3a \sqrt{4b^2-a^2} </math> Pyramidenhöhe <math>k = \frac{1}{3}\sqrt{9b^2-3a^2} </math> Inkugelradius <math>\rho = \frac{a}{12} \sqrt{\frac{48b^2-14a^2+8a\sqrt{6b^2-2a^2}}{4b^2-a^2}} </math> Flächenwinkel  (über Kante a) <math> \cos \, \alpha_1 = \frac{5a^2-12b^2-8a \sqrt{6b^2-2a^2}}{9(4b^2-a^2)} </math> Flächenwinkel  (über Kante b) <math> \cos \, \alpha_2 = \frac{2b^2-a^2}{4b^2-a^2} </math>

Speziell <math>b = \tfrac{3}{5}a</math> Größen eines Triakistetraeders mit Kantenlänge a Volumen <math>V = \frac{3}{20}\,a^3 \sqrt{2} </math> Oberflächeninhalt <math>A_O = \frac{3}{5}\,a^2 \sqrt{11} </math> Pyramidenhöhe <math>k = \frac{a}{15} \sqrt{6} </math> Inkugelradius <math>\rho = \frac{3}{4}\,a\,\sqrt{\frac{2}{11}} </math> Kantenkugelradius <math>r = \frac{a}{4} \sqrt{2} </math> Flächenwinkel  ≈ 129° 31′ 16″ <math> \cos \, \alpha = -\frac{7}{11} </math> Sphärizität  ≈ 0,86439 <math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {60\,\pi}} {2 \sqrt{11}} </math>

Weblinks

Datei:Commons-logo.svg

[{{canonicalurl:Commons:Category:{{#if:Triakis tetrahedron|Triakis tetrahedron|Triakistetraeder}}|uselang=de}} Commons: {{#if:Triakistetraeder|Triakistetraeder|{{#if:Triakis tetrahedron|Triakis tetrahedron|{{#invoke:WLink|getArticleBase}}}}}}]{{#switch:1

|X|x= |0|-= |S|s= – Sammlung von Bildern |1|= – Sammlung von Bildern{{#if:

    | {{#switch: {{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}/{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}
        |1/=  und Videos
        |1/1=, Videos und Audiodateien
        |/1=  und Audiodateien}}
    | , Videos und Audiodateien
  }}

|#default= – }}{{#if: Triakis tetrahedron

   | {{#ifeq: {{#invoke:Str|left|triakis tetrahedron|9}} 
       | category: 

| }}}}

Datei:Wiktfavicon en.svg[[wikt:{{#if:|{{{lang}}}:}}{{#if:|{{{1}}}|{{#invoke:WLink|getArticleBase}}}}|Wiktionary: {{#if:|{{{2}}}|{{#if:|{{{1}}}|{{#invoke:WLink|getArticleBase}}}}}}]]{{#switch: 1

|1|= – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen |0|-= |X|x= |#default= –

}}{{#if:| {{#ifeq: {{{lang}}} | de | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | ({{#invoke:Multilingual|format|{{{lang}}}|slang=!|shift=m}}) }}}}

{{#invoke:TemplatePar|check

  |opt= 1= 2= lang= suffix=
  |template=Vorlage:Wiktionary
  |cat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Schwesterprojekt
  }}

• {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Triakistetraeder. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
• Mineralienatlas:Triakistetraeder Interaktive Darstellung des Triakistetraeders im Mineralienatlas

{{safesubst:#ifeq:0|10| {{#switch: Triakistetraeder |Navigationsleiste|NaviBlock|0=|#default= Vorlage:Templatetransclusioncheck Vorlage:Dokumentation/ruler }}}}Vorlage:Klappleiste/Anfang {{#if:

|

Triakistetraeder · Rhombendodekaeder · Tetrakishexaeder · Triakisoktaeder · Deltoidalikositetraeder · Pentagonikositetraeder · Rhombentriakontaeder · Hexakisoktaeder · Pentakisdodekaeder · Triakisikosaeder · Deltoidalhexakontaeder · Pentagonhexakontaeder · Hexakisikosaeder 

 |

Triakistetraeder · Rhombendodekaeder · Tetrakishexaeder · Triakisoktaeder · Deltoidalikositetraeder · Pentagonikositetraeder · Rhombentriakontaeder · Hexakisoktaeder · Pentakisdodekaeder · Triakisikosaeder · Deltoidalhexakontaeder · Pentagonhexakontaeder · Hexakisikosaeder  }} Vorlage:Klappleiste/Ende