Tetrakishexaeder

Datei:Tetrakishexahedron.jpg

3D-Ansicht eines Tetrakishexaeders (Animation)

Datei:Tetrakis hexahedron wireframe.stl

Drahtgittermodell eines Tetrakishexaeders

Das Tetrakishexaeder (aus Vorlage:GrcS „viermal“ und Hexaeder „Sechsflächner“), auch Pyramidenwürfel oder Disdyakishexaeder (Vorlage:GrcS „zweimal“ und {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} „zweimal“), ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 24 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist der duale Körper zum Oktaederstumpf und hat 14 Ecken sowie 36 Kanten.

Entstehung

Werden auf die 6 Begrenzungsflächen eines Würfels (Kantenlänge <math>a</math>) quadratische Pyramiden mit der Flankenlänge <math>b</math> aufgesetzt, entsteht ein Tetrakishexaeder, sofern die Bedingung <math>\tfrac{a}{2}\sqrt{2}<b<\tfrac{a}{2}\sqrt{3}</math> erfüllt ist.

• Für den zuvor genannten minimalen Wert von <math>b</math> haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich der Würfel mit der Kantenlänge <math>a</math> übrig bleibt.
• Das spezielle Tetrakishexaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn <math>b = \tfrac{3}{4}\,a</math> ist.
• Nimmt <math>b</math> den o. g. maximalen Wert an, entartet das Tetrakishexaeder zu einem Rhombendodekaeder mit der Kantenlänge <math>b</math>.
• Überschreitet <math>b</math> den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet zu einem Sternkörper.

Formeln

Allgemein <math>\tfrac{a}{2}\sqrt{2}<b<\tfrac{a}{2}\sqrt{3}</math> Größen eines Tetrakishexaeders mit Kantenlänge a, b Volumen <math>V = a^2 \left(a + \sqrt{4b^2 - 2a^2}\right) </math> Oberflächeninhalt <math>A_O = 6a \sqrt{4b^2-a^2} </math> Pyramidenhöhe <math>k = \frac{1}{2}\sqrt{4b^2-2a^2} </math> Inkugelradius <math>\rho = \frac{a \left(a+\sqrt{4b^2-2a^2}\right)}{2\sqrt{4b^2-a^2}} </math> Flächenwinkel  (über Kante a) <math> \cos \, \alpha_1 = \frac{2a \sqrt{4b^2-2a^2}}{a^2-4b^2} </math> Flächenwinkel  (über Kante b) <math> \cos \, \alpha_2 = \frac{a^2}{a^2-4b^2} </math>

Speziell <math>b = \tfrac{3}{4}\,a</math> Größen eines Tetrakishexaeders mit Kantenlänge a Volumen <math>V = \frac{3}{2}\,a^3 </math> Oberflächeninhalt <math>A_O = 3a^2 \sqrt{5} </math> Pyramidenhöhe <math>k = \frac{a}{4} </math> Inkugelradius <math>\rho = \frac{3}{10}\,a \sqrt{5} </math> Kantenkugelradius <math>r = \frac{a}{2} \sqrt{2} </math> Flächenwinkel  ≈ 143° 7′ 48″ <math> \cos \, \alpha = -\frac{4}{5} </math> Sphärizität  ≈ 0,94465 <math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {3\,\pi}} {\sqrt{5}} </math>

Anwendung

• In der Natur kommt das Tetrakishexaeder als spezielle Form {hk0} bei Kristallen der Klassen 432, Vorlage:Overline2m und mVorlage:Overlinem vor, z. B. beim Fluorit.
• Das Tetrakishexaeder wird auch als Spielwürfel (W24) verwendet.

Weblinks

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• {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Tetrakishexaeder. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
• Interaktive Darstellung des Tetrakishexaeders im Mineralienatlas
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