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Lie-Ableitung

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In der Analysis bezeichnet die Lie-Ableitung (nach Sophus Lie) die Ableitung eines Vektorfeldes oder allgemeiner eines Tensorfeldes entlang eines Vektorfeldes. Auf dem Raum der Vektorfelder wird durch die Lie-Ableitung eine Lie-Klammer definiert, die Jacobi-Lie-Klammer genannt wird. Der Raum der Vektorfelder wird durch diese Operation zu einer Lie-Algebra.

Motivation

In der Allgemeinen Relativitätstheorie und in der geometrischen Formulierung der Hamiltonschen Mechanik wird die Lie-Ableitung verwendet, um Symmetrien aufzudecken, diese zur Lösung von Problemen auszunutzen und beispielsweise Konstanten der Bewegung zu finden.

Die Definition der Lie-Ableitung ist wie folgt motiviert: <math>T</math> sei ein Feld auf einer Mannigfaltigkeit <math>M</math>, dessen Symmetrie untersucht werden soll. Die Punkte <math>P_0</math> aus <math>M</math> mögen in einem Koordinatensystem <math>K_0</math> die Koordinaten <math> {\boldsymbol x_0}_{K_0}</math> haben. Es möge eine glatte Verschiebung (Fluss) <math>\phi :{M \times R}\rightarrow M</math> geben, die in Abhängigkeit eines Parameters <math>t</math> jedem beliebigen Punkt <math>P_0</math>, in glatter Weise Punkte <math>P_t</math> mit den Koordinaten <math> {\boldsymbol x_t}_{K_0}</math> zuordnet. Weiterhin führen wir Koordinatensysteme <math>K_t</math> ein, so dass die Punkte <math>P_t</math> in <math>K_t</math> die gleichen Koordinatenwerte haben, wie die Punkte <math>P_0</math> in <math>K_0</math>. Diese Koordinatensysteme sind demnach durch die Koordinatentransformation <math> {\boldsymbol x_0}_{K_0}= { \boldsymbol x_t}_{K_t}</math> definiert.

Eine Symmetrie des Feldes <math>T</math> liegt dann vor, wenn bei der Verschiebung <math>P_0 \rightarrow P_t</math> die Komponenten <math> {\boldsymbol T}_{K_t}(P_t) </math> des Feldes <math>T</math> am Punkt <math>P_t</math>, ausgedrückt in den Koordinaten <math>K_t</math> die gleichen Werte haben, wie die Komponenten von <math>T</math> am Punkt <math>P_0</math> ausgedrückt im Koordinatensystem <math>K_0</math> . Die Bedingungsgleichung für die Symmetrie des Feldes ist demnach <math> {\boldsymbol T}_{K_0}(P_0)= { \boldsymbol T}_{K_t}(P_t)</math>.

Setzt man dieses Konzept für infinitesimale Verschiebungen um, so lässt sich mit Hilfe des Tangentialvektorenfeldes <math>\boldsymbol X</math> zum Fluss <math>\phi</math> die Verschiebung eines Punktes <math>P_0 \rightarrow P_\varepsilon</math> in Koordinaten als <math> {\boldsymbol x_\varepsilon}= \boldsymbol x_0 + \varepsilon \boldsymbol X </math> schreiben.

Das Koordinatensystem <math>K_\varepsilon</math> in seinen geforderten Eigenschaften wird durch die Koordinatentransformation <math> {\boldsymbol x_\varepsilon}= \boldsymbol x_0 - \varepsilon \boldsymbol X </math> definiert. Die Symmetriebedingung des Vektorfeldes <math>T</math> ist dann <math> {\boldsymbol T}_{K_\varepsilon}(P_\varepsilon)- { \boldsymbol T}_{K_0}(P_0)=0</math>. Der Koeffizient des in <math>\varepsilon</math> linearen Gliedes ist per Definition die Lie-Ableitung von <math>T</math> in Richtung <math>\boldsymbol X</math>

<math>\mathcal L_XT  :=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{{\boldsymbol T}_{K_\varepsilon}(P_\varepsilon)- { \boldsymbol T}_{K_0}(P_0) }{\varepsilon}

</math>. Für Felder <math>T</math> mit einer zu <math>\boldsymbol X</math> gehörigen Symmetrie verschwindet die Lie-Ableitung. In dem Sinne liefert der Ausdruck <math>\mathcal L_XT =0 </math> ein Kriterium für die Symmetrie eines Vektorfeldes <math> T </math>.

Lie-Ableitung für Funktionen

Ist <math>X</math> ein Vektorfeld, so ist die Lie-Ableitung einer differenzierbaren Funktion <math>f</math> die Anwendung von <math>X</math> auf <math>f</math>:

<math>\mathcal L_Xf=Xf

</math>.

Genauer: Es seien <math>M</math> eine <math>n</math>-dimensionale <math>\mathcal{C}^\infty</math>-Mannigfaltigkeit, <math>f\colon M \to \R</math> eine glatte Funktion und <math>X</math> ein glattes Vektorfeld auf <math>M</math>. Die Lie-Ableitung <math>\mathcal{L}_X f(p)</math> der Funktion <math>f</math> nach <math>X</math> im Punkt <math>p\in M</math> ist definiert als die Richtungsableitung von <math>f</math> nach <math>X(p)</math>:

<math>\mathcal{L}_X f(p) := X_p(f) = d_p f(X(p))</math>

In lokalen Koordinaten <math>(x_1, \ldots, x_n) \colon U \subseteq M \to \R^n</math> lässt sich das Vektorfeld darstellen als

<math>X = \sum_{j=1}^n X_j \frac{\partial}{\partial x_j}</math>, mit <math>X_j \colon U \to \R</math>.

Für die Lie-Ableitung ergibt sich dann

<math>\mathcal{L}_X f(p)= \sum_{j=1}^n X_j(p) \frac{\partial f}{\partial x_j} (p) </math>.

Lie-Ableitung von Vektorfeldern

Definition

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> zwei Vektorfelder an der <math>n</math>-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit <math>M</math> und <math>F_t</math> der Fluss des Vektorfelds <math>X</math>. Dann ist die Lie-Ableitung <math>\mathcal{L}_X Y</math> von <math>Y</math> in Richtung <math>X</math> definiert durch

<math>\mathcal{L}_X Y = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \right|_{t=0} (F^*_t Y)</math>,

wobei <math>F^*_t</math> den Rücktransport des Flusses <math>F_t</math> meint.

Eigenschaften

Lie-Klammer

Sind <math>X</math> und <math>Y</math> wieder zwei Vektorfelder, dann gilt für die Lie-Ableitung die Identität

<math>(\mathcal{L}_X Y) f = X(Y(f)) - Y (X (f))</math>,

wobei <math>f</math> eine glatte Funktion auf einer offenen Teilmenge der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit ist. Aus dieser Gleichung kann gezeigt werden, dass <math>(X,Y) \mapsto \mathcal{L}_X Y</math> die Eigenschaften einer Lie-Klammer erfüllt. Daher schreibt man auch <math>[X,Y] := \mathcal{L}_X Y</math>. Insbesondere bildet also die Menge der Vektorfelder mit der Lie-Ableitung eine Lie-Algebra und ihre Lie-Klammer <math>[\cdot,\cdot]</math> wird Jacobi-Lie-Klammer genannt.<ref>R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 277–279.</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Manchmal definiert man die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer direkt durch den Term <math>X(Y(f)) - Y (X (f))</math>. Dabei wird manchmal auch die Umgekehrte Vorzeichenkonvention, also <math>[X,Y] := Y \circ X - X \circ Y</math> verwendet.

Lokale Koordinaten

In lokalen Koordinaten haben die Vektorfelder <math>X</math> beziehungsweise <math>Y</math> die Darstellungen

<math>X = \sum_{j=1}^n X_j \frac{\partial}{\partial x_j}</math>

beziehungsweise

<math>Y = \sum_{j=1}^n Y_j \frac{\partial}{\partial x_j}</math>.

Für die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer gilt dann

<math>[X,Y] = \sum_{j=1}^n

\left( \sum_{k=1}^n X_k \frac{\partial Y_j}{\partial x_k} - \sum_{k=1}^n Y_k \frac{\partial X_j}{\partial x_k}\right) \frac{\partial}{\partial x_j} \,. </math>

Eigenschaften und Lie-Algebra

Der Vektorraum <math>\mathcal{C}^\infty(M,\R)</math> aller glatten Funktionen <math>M \to \R</math> ist bezüglich der punktweisen Multiplikation eine Algebra. Die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes <math>X</math> ist dann eine <math>\R</math>-lineare Derivation <math>\mathcal{L}_X : \mathcal{C}^\infty(M,\R) \to \mathcal{C}^\infty(M,\R)</math>, d. h., sie hat die Eigenschaften

  • <math>\mathcal{L}_X </math> ist <math>\mathbb{R}</math>-linear
  • <math>\mathcal{L}_X(f g)=(\mathcal{L}_X f) g + f\mathcal{L}_X g</math> (Leibniz-Regel)

Bezeichne <math>\mathcal{X}(M)</math> die Menge aller glatten Vektorfelder auf <math>M</math>, dann ist die Lie-Ableitung auch eine <math>\R</math>-lineare Derivation auf <math>\mathcal{C}^\infty(M,\R) \times \mathcal{X}(M) </math>, und es gilt:

  • <math>\mathcal{L}_X(fY)=(\mathcal{L}_Xf) Y + f\mathcal{L}_X Y</math> (Leibniz-Regel)
  • <math>[X,[Y,Z]] = \mathcal{L}_X [Y,Z] = [\mathcal{L}_X Y,Z] + [Y,\mathcal{L}_X Z] = [[X,Y],Z] + [Y,[X,Z]]</math> (Jacobi-Identität)

Dadurch wird <math>\mathcal{X}(M)</math> zu einer Lie-Algebra.

Lie-Ableitung von Tensorfeldern

Definition

Für ein Tensorfeld <math>T</math> und ein Vektorfeld <math>X</math> mit lokalem Fluss <math>\Phi_t</math> ist die Lie-Ableitung von <math>T</math> bezüglich <math>X</math> definiert als

<math>

\mathcal L_XT=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Phi_{t}^* T|_{t=0}\,. </math>

Eigenschaften

Die Lie-Ableitung <math>\mathcal L_X</math> ist <math>\R</math>-linear in <math>X</math> und für festes <math>X</math> eine Derivation der Tensoralgebra, die mit der Kontraktion verträglich ist. Die Lie-Ableitung ist dadurch und durch ihre Werte auf Funktionen und Vektorfeldern bereits eindeutig charakterisiert.

Im Unterschied zu einem Zusammenhang ist <math>\mathcal L_X</math> nicht <math>\mathcal C^\infty</math>-linear in <math>X</math>.

Differentialformen

Sei <math>M</math> eine <math>\mathcal{C}^\infty</math>-Mannigfaltigkeit, <math>X</math> ein Vektorfeld auf <math>M</math> und <math>\alpha \in \Lambda^{k+1}(M)</math> eine <math>(k+1)</math>-Differentialform auf <math>M</math>. Durch Evaluation kann man eine Art inneres Produkt zwischen <math>X</math> und <math>\alpha</math> definieren:

<math>(i_X\alpha) (X_1, \ldots, X_k) = \alpha (X,X_1, \ldots, X_k)\,</math>

und erhält die Abbildung:

<math>i_X:\Lambda^{k+1}(M) \to \Lambda^k(M), \; \alpha \mapsto i_X\alpha</math>

Diese Abbildung hat die folgenden Eigenschaften:

  • <math>i_X</math> ist <math>\R</Math>-linear,
  • für beliebiges <math>f\in \Lambda^0(M)</math> gilt <math>i_{fX}\alpha = fi_X\alpha</math>,
  • für eine beliebige Differentialform <math>\beta</Math> über <math>M</Math> und <math>\alpha\in\Lambda^k(M)</math> gilt
<math>i_X (\alpha \wedge \beta) =

(i_X \alpha) \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge (i_X \beta)</math>.

Weiter oben wurde die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes <math>X</math> für Funktionen über <math>M</math> definiert:

<math>\mathcal{L}_Xf = i_X df</math>.

Für echte Differentialformen kann die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes <math>X</math> durch

<math>\mathcal{L}_X\alpha = \left(i_X\circ d\ + d\circ i_X\right) \alpha</math>

berechnet werden. Diese Gleichung kann aus der Definition der Lie-Ableitung für Tensorfelder hergeleitet werden. Sie trägt den Namen Cartan-Formel.<ref>John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 473–477.</ref>

Sie hat die folgenden Eigenschaften:

  • <math>\mathcal{L}_{fX}\alpha = f\mathcal{L}_X\alpha + df \wedge i_X \alpha</math>
  • <math>\mathcal{L}_X(\alpha\wedge\beta)=(\mathcal{L}_X\alpha)\wedge\beta+\alpha\wedge(\mathcal{L}_X\beta)</math>
  • <math>[\mathcal{L}_X,\mathcal{L}_Y]\alpha:=

\mathcal{L}_X\mathcal{L}_Y\alpha-\mathcal{L}_Y\mathcal{L}_X\alpha=\mathcal{L}_{[X,Y]}\alpha</math>

  • <math>[\mathcal{L}_X,i_Y]\alpha=[i_X,\mathcal{L}_Y]\alpha=i_{[X,Y]}\alpha</math>

Literatur

  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Band 4: Analysis auf Mannigfaltigkeiten – Funktionentheorie – Funktionalanalysis. Spektrum, Heidelberg 2001, ISBN 3-8274-0137-2.
  • Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine: Riemannian Geometry. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1990, ISBN 3-540-52401-0

Einzelnachweise

<references />

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