Postliminale C*-Algebra

Postliminale C*-Algebren bilden eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C*-Algebren. Alternative Bezeichnungen, die weiter unten motiviert werden, sind GCR-Algebra oder Typ-I-C*-Algebra. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung der Klasse der liminalen C*-Algebren.

Definition

Eine C*-Algebra <math>A</math> heißt postliminal, wenn für jedes echte, abgeschlossene, zweiseitige Ideal <math>I\subset A</math> die Quotientenalgebra <math>A/I</math> ein von <math>\{0\}</math> verschiedenes liminales Ideal enthält.

Damit ist der Begriff der postliminalen C*-Algebra auf den der liminalen C*-Algebra zurückgeführt und stellt offenbar eine Verallgemeinerung dar. Das wird auch durch die erste der folgenden Charakterisierungen deutlich.

Charakterisierungen

Bilder irreduzibler Darstellungen

Ist <math>\pi</math> eine irreduzible Darstellung der C*-Algebra <math>A</math> auf dem Hilbertraum <math>H</math>, so enthält <math>A/\mbox{ker}(\pi)</math> nach Definition ein von <math>\{0\}</math> verschiedenes liminales Ideal. Man kann zeigen, dass durch <math>\tilde{\pi}(a+\mbox{ker}(\pi)):= \pi(a) </math> eine irreduzible Darstellung <math>\tilde{\pi}</math> dieses Ideals definiert wird. Da <math>I</math> liminal ist, fällt das Bild <math>\tilde{\pi}(I)</math> mit der Algebra <math>K(H)</math> der kompakten Operatoren zusammen und daraus folgt <math>\pi(A)\supset K(H)</math>. Das Bild einer jeden irreduziblen Darstellung umfasst also die kompakten Operatoren und davon gilt sogar die Umkehrung:

Eine C*-Algebra <math>A</math> ist genau dann postliminal, wenn <math>\pi(A)\supset K(H)</math> für jede irreduzible Darstellung <math>\pi:A\rightarrow L(H)</math> von <math>A</math>.

Für liminale C*-Algebren hat man eine fast gleich lautende Charakterisierung, die Inklusion ist lediglich durch eine Gleichheit ersetzt (siehe Artikel liminale C*-Algebra). Da man liminale C*-Algebren wegen dieser Beziehung zu den kompakten Operatoren auch CCR-Algebren nennt (CCR=completely continuous representations), heißen postliminale C*-Algebren aus demselben Grunde auch GCR-Algebren (GCR = generalized completely continuous representations).

Kompositionsreihen

Eine Kompositionsreihe einer C*-Algebra <math>A</math> ist eine Familie <math>(I_\beta)_{0\le\beta\le\alpha}</math> von abgeschlossenen, zweiseitigen Idealen <math>I_\beta\subset A</math>, wobei

<math>\alpha</math> ist eine Ordinalzahl (<math>\beta</math> durchläuft also alle Ordinalzahlen bis <math>\alpha</math> einschließlich.)
<math>I_0\,=\,\{0\}</math> und <math>I_\alpha \,=\, A</math>.
Für <math>0\le \beta \le \gamma \le \alpha</math> gilt <math>I_\beta \subset I_\gamma</math>
Ist <math>\gamma \in [0,\alpha]</math> eine Limeszahl, so ist <math>I_\gamma</math> der Abschluss von <math>\bigcup_{0\le \beta < \gamma}I_\beta</math>.

Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Charakterisierung beweisen:

Eine C*-Algebra <math>A</math> ist genau dann postliminal, wenn es eine Kompositionsreihe <math>(I_\beta)_{0\le\beta\le\alpha}</math> von <math>A</math> gibt, so dass alle Quotienten <math>I_{\beta+1}/I_\beta</math> liminal sind.

Typ I

Eine Darstellung <math>\pi:A\rightarrow L(H)</math> einer C*-Algebra <math>A</math> heißt vom Typ I, falls die vom Bild <math>\pi(A)</math> erzeugte Von-Neumann-Algebra vom Typ I ist, das heißt wenn der Bikommutant <math>\pi(A) \subset L(H)</math> eine Typ I Von-Neumann-Algebra ist.

Eine C*-Algebra <math>A</math> ist genau dann postliminal, wenn jede Darstellung vom Typ I ist.

Daher nennt man postliminale C*-Algebren auch Typ-I-C*-Algebren. Diese Bezeichnung kann aber zur Verwirrung Anlass geben, denn eine Typ I Von-Neumann-Algebra, die ja auch eine C*-Algebra ist, ist im Allgemeinen keine Typ-I-C*-Algebra, wie das Beispiel <math>A=L(H)</math> mit unendlich-dimensionalem Hilbertraum <math>H</math> zeigt.

Spektrum

Ist <math>[\pi]</math> eine Äquivalenzklasse irreduzibler Darstellungen von <math>A</math>, also ein Element des Spektrums <math>\hat{A}</math>, so hängt das Ideal <math>\mbox{ker}(\pi)</math> nur von der Äquivalenzklasse <math>[\pi]</math> und nicht von der konkreten Darstellung <math>\pi</math> ab. Da die Kerne irreduzibler Darstellungen definitionsgemäß die primitiven Ideale sind, ist die Kernbildung, <math>[\pi]\mapsto \ker(\pi)</math>, eine Abbildung <math>\hat{A}\to \mbox{Prim}(A)</math> vom Spektrum in den Raum der primitiven Ideale. Diese ist nach Konstruktion surjektiv, im Allgemeinen aber nicht injektiv.

Ist <math>A</math> eine postliminale C*-Algebra, so ist die Kernabbildung <math>\hat{A}\to \mbox{Prim}(A)</math> injektiv. Ist <math>A</math> separabel, so gilt hiervon die Umkehrung.

Eine mögliche Umkehrung dieser Aussage auch im Falle nicht-separabler C*-Algebren ist offen, jedenfalls wäre sie im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom nicht beweisbar, wie die Konsistenz eines Gegenbeispiels zum Naimark-Problem zeigt.<ref> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref>

Beispiele

Liminale C*-Algebren sind postliminal.

Es sei <math>T</math> die vom Shiftoperator <math>s\in L(\ell^2)</math> erzeugte C*-Algebra, die sogenannte Toeplitz-Algebra (nach Otto Toeplitz). Da <math>1-s^ns^{*n}</math> die Orthogonalprojektion auf den von den Basisvektoren <math>e_1,\ldots e_n \in \ell^2</math> erzeugten Unterraum und damit ein kompakter Operator ist, kann man zeigen, dass <math>K(H)\subset T</math>. Weiter gilt, dass <math>T/K(H) \cong C(S^1)</math>, wobei <math>S^1\subset \Complex</math> die Kreislinie ist, denn <math>T/K(H)</math> wird von der Restklasse <math>s+K(H)</math> erzeugt, und diese hat die Kreislinie als Spektrum. Man hat sogar eine exakte Sequenz

<math> \{0\} \rightarrow K(H) \rightarrow T \rightarrow C(S^1) \rightarrow \{0\} </math>

.

Jedenfalls ist durch <math>I_0 := \{0\}, I_1:= K(H), I_2 := T</math> eine Kompositionsreihe von <math>T</math> gegeben, und die Quotienten <math>T/K(H) \cong C(S^1)</math> und <math>K(H)/\{0\} \cong K(H)</math> sind liminal. Daher ist T postliminal, aber nicht liminal, denn <math>\mbox{id}_T: T\rightarrow L(\ell^2)</math> ist eine irreduzible Darstellung, die den nicht-kompakten Operator <math>s</math> im Bild enthält.

<math>L(\ell^2)</math> ist ein Beispiel für eine C*-Algebra, die nicht postliminal ist. Die Calkin-Algebra ist ein weiteres Beispiel einer nicht-postliminalen C*-Algebra.

Eigenschaften

Eine Unter-C*-Algebra einer postliminalen C*-Algebra ist wieder postliminal.
Ist <math>I\subset A</math> ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in der postliminalen C*-Algebra <math>A</math>, so ist auch <math>A/I</math> postliminal.
Ist <math>I\subset A</math> ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in der C*-Algebra <math>A</math> und sind <math>I</math> und <math>A/I</math> postliminal, so ist auch <math>A</math> postliminal.
Postliminale C*-Algebren sind nuklear.
Ist <math>A</math> postliminal, so besitzt <math>A</math> eine Kompositionsreihe <math>(I_\beta)_{0\le\beta\le\alpha}</math>, so dass alle Quotienten <math>I_{\beta+1}/I_\beta</math> C*-Algebren mit stetiger Spur sind. Das verschärft die oben mittels Kompositionsreihen gegebene Charakterisierung.
Eine postliminale C*-Algebra <math>A</math> ist genau dann liminal, wenn jeder Punkt in <math>\hat{A} \cong \mbox{Prim}(A)</math> abgeschlossen bzgl. der Zariski-Topologie ist, das heißt wenn das Spektrum <math>\hat{A}</math> ein T₁-Raum ist.

Quellen

W. Arveson: Invitation to C*-algebras, Springer-Verlag (1976), ISBN 0-387-90176-0.
J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969

Einzelnachweise