Von-Neumann-Algebra

Eine Von-Neumann-Algebra oder W*-Algebra ist eine mathematische Struktur in der Funktionalanalysis. Historisch beginnt die Theorie der Von-Neumann-Algebren mit den grundlegenden von 1936 bis 1943 erschienenen Arbeiten von Francis J. Murray und John von Neumann On rings of operators.<ref>F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators. Ann. of Math. (2), Band 37, 1936, Seiten 116–229.</ref><ref>F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators II. Trans. Amer. Math. Soc., Band 41, 1937, Seiten 208–248</ref><ref>F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators IV. Ann. of Math. (2), Band 44, 1943, Seiten 716–808.</ref> Der Name Von-Neumann-Algebra für derartige Algebren geht auf einen Vorschlag von Jean Dieudonné zurück.<ref>Newsletter of the EMS, Juni 2009, Interview mit Jacques Dixmier, Seite 36</ref>

Definition

Eine Von-Neumann-Algebra <math>A</math> (benannt nach John von Neumann) oder (mittlerweile veraltet) ein Ring von Operatoren ist eine *-Unteralgebra mit Eins der Algebra <math>L\left( H\right)</math> der beschränkten linearen Operatoren eines Hilbertraums <math>H</math>, die eine (und damit alle) der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

<math>A=A</math>.
<math>A</math> ist abgeschlossen in der starken Operatortopologie.
<math>A</math> ist abgeschlossen in der schwachen Operatortopologie.

Hierbei ist <math>A' := \bigl\{ x \in L(H) \,|\, \forall a \in A:\, xa = ax\bigr\} </math> die Kommutante von <math>A</math> und entsprechend <math>A</math> die Kommutante von <math>A'</math>.

Die Äquivalenz der drei obigen Aussagen nennt man den von Neumannschen Doppelkommutantensatz oder Bikommutantensatz. Diese Aussage kann wie folgt verschärft werden:

Ist <math>A\subset L(H)</math> eine *-Unteralgebra mit Eins, so ist <math>A</math> der Abschluss von <math>A</math> sowohl in der schwachen als auch in der starken Operatortopologie.

Auch diese Formulierung, die eine Äquivalenz zwischen der rein algebraischen Kommutanten-Bildung und der rein topologischen Dichte-Beziehung bzw. Abschluss-Bildung herstellt, wird als Bikommutantensatz bezeichnet. Damit erweist sich der Bikommutantensatz als ein Dichtheitssatz. Zusammen mit dem weiteren Dichtheitssatz von Kaplansky stellt er den Ausgangspunkt der Theorie der Von-Neumann-Algebren dar.

Eine Von-Neumann-Algebra kann nach einem Satz von Shōichirō Sakai auch abstrakt ohne einen zugrundeliegenden Hilbertraum definiert werden:

Eine Von-Neumann-Algebra <math>A</math> ist eine C*-Algebra, die der topologische Dualraum eines Banachraums <math>A_{\star}</math> ist.

Faktoren

Die Von-Neumann-Algebra <math>A</math> heißt Faktor, falls sie eine der beiden folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

<math>A \cap A' = \mathbb C \cdot 1_H </math>.
<math>A \cup A'</math> erzeugt <math>L\left(H\right)</math>.

Da <math>A \cap A'</math> die Menge der Operatoren aus <math>A</math> ist, die mit allen Operatoren aus <math>A</math> kommutieren, ist <math>A \cap A'</math> das Zentrum von <math>A</math>. Faktoren sind daher die Von-Neumann-Algebren mit kleinst möglichem Zentrum. Man kann Von-Neumann-Algebren als direktes Integral (eine Verallgemeinerung der direkten Summe) von Faktoren darstellen, das heißt, Von-Neumann-Algebren sind in diesem Sinne aus Faktoren zusammengesetzt.

<math>L\left(H\right)</math> und <math>\Complex\cdot 1_H</math> sind Beispiele für Faktoren. Mit <math>A</math> ist auch <math>A'</math> ein Faktor; offenbar gilt <math>L\left(H\right)'=\Complex\cdot 1_H</math> und <math>(\Complex\cdot 1_H)' = L\left(H\right)</math>.

Bei den Faktoren können 3 Typen, die Typ I, Typ II und Typ III heißen, unterschieden werden.

Kommutative Von-Neumann-Algebren

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Sei <math>(X,{\mathfrak X},\mu)</math> ein <math>\sigma</math>-endlicher Maßraum. Dann ist <math>H=</math> L²<math>(X,{\mathfrak X},\mu)</math> ein Hilbertraum, und jede wesentlich beschränkte Funktion <math>f\in L^{\infty}(X,{\mathfrak X},\mu)</math> definiert via Multiplikation einen Operator <math>M_f\in L(H), M_f(g):=f\cdot g</math>. Die Menge aller <math>M_f</math> ist eine kommutative Von-Neumann-Algebra <math>{\mathcal M}\subset L(H)</math>, und die Abbildung <math>f\mapsto M_f</math> ist ein *-Isomorphismus <math>L^{\infty}(X,{\mathfrak X},\mu) \to {\mathcal M}</math>. Man kann <math>{\mathcal M}' = {\mathcal M}</math> zeigen, das heißt, die Algebra <math>{\mathcal M}</math> stimmt mit ihrem Kommutanten überein. Keine echte Oberalgebra kann daher kommutativ sein, <math>{\mathcal M}</math> ist also eine maximale kommutative Von-Neumann-Algebra.

Betrachtet man speziell den Maßraum <math>([0,1],{\mathcal B},\lambda)</math> (Einheitsintervall mit dem Lebesgue-Maß), so kann man zeigen, dass der Bikommutant von <math>\{M_f;\, f\in C([0,1])\}</math> mit <math>{\mathcal M}\cong L^{\infty}([0,1])</math> zusammenfällt. Der Übergang vom topologischen Konstrukt <math>C([0,1])</math> zum maßtheoretischen Konstrukt <math>L^{\infty}([0,1])</math> entspricht dem Übergang von C*-Algebren zu Von-Neumann-Algebren. Während man bei C*-Algebren wegen des Satzes von Gelfand-Neumark von nicht-kommutativer Topologie spricht, gibt die hier angestellte Betrachtung Anlass, eine Von-Neumann-Algebra als einen nicht-kommutativen Maßraum anzusehen, man spricht daher auch von nicht-kommutativer Maßtheorie.

Eigenschaften

Jede Von-Neumann-Algebra ist eine C*-Algebra und somit auch eine Banachalgebra.

Wie sich aus dem beschränkten Borel-Funktionalkalkül ergibt, enthalten Von-Neumann-Algebren sehr viele Orthogonalprojektionen; jeder Operator ist in der Normtopologie Limes von Linearkombinationen von Orthogonalprojektionen. Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu den C*-Algebren, die, wie das Beispiel C([0,1]) zeigt, neben 0 und 1 keine weiteren Projektionen enthalten müssen. Man kann aus der Menge der Projektionen einen Verband konstruieren; die Struktur dieses Verbandes wird zur Typklassifikation der Von-Neumann-Algebren herangezogen.

Siehe auch

Literatur

Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7.
R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Band I und II, Academic Press 1983, ISBN 0-123-93301-3 bzw. 1986, ISBN 0-123-93302-1
Shôichirô Sakai: C*-Algebras and W*-Algebras. Springer, Berlin u. a. 1971 (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band. 60) ISBN 3-540-05347-6 (Nachdruck. ebenda 1998, ISBN 3-540-63633-1).
Jacob T. Schwartz: W*-Algebras. Gordon & Breach, New York NY u. a. 1967.

Einzelnachweise

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