T1-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind T₁-Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Das <math>T_1</math>-Axiom ist ein Beispiel eines Trennungsaxioms.

Definition

Sei <math>X</math> ein topologischer Raum. <math>X</math> heißt <math>T_1</math>-Raum, falls für zwei beliebige Punkte jeder eine Umgebung besitzt, in der der andere nicht liegt. Zur Abgrenzung: Bei einem T₀-Raum muss nur einer der beiden Punkte eine solche Umgebung besitzen, bei einem T₂-Raum müssen die beiden Umgebungen disjunkt gewählt werden können. Man sagt auch, dass ein <math>T_1</math>-Raum eine Fréchet-Topologie besitzt. Zu vermeiden ist in diesem Zusammenhang die Bezeichnung Fréchet-Raum, die ein Begriff aus der Funktionalanalysis ist.

Eigenschaften

Sei <math>X</math> ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:

• <math>X</math> ist ein <math>T_1</math>-Raum.
• <math>X</math> ist ein Kolmogoroff-Raum und ein R₀-Raum.
• Alle einpunktigen Mengen in <math>X</math> sind abgeschlossen.
• Jede endliche Menge ist abgeschlossen.
• Jede Menge mit endlichem Komplement ist offen.
• Jeder Elementarfilter zu einem beliebigen <math>x\in X</math> konvergiert nur gegen <math>x</math>.
• Für jede Teilmenge <math>S\subseteq X</math> gilt, dass ein Element <math>x</math> aus <math>X</math> genau dann ein Häufungspunkt von <math>S</math> ist, wenn jede offene Umgebung von <math>x</math> unendlich viele Elemente von <math>S</math> enthält.

In topologischen Räumen gelten immer folgende Implikationen

getrennt <math>\implies</math> topologisch unterscheidbar <math>\implies</math> disjunkt

Falls der erste Pfeil umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R₀-Raum, genau in einem T₀-Raum gilt dies auch für die zweite Implikation. Damit sieht man, dass ein topologischer Raum genau dann <math>T_1</math> erfüllt, wenn er sowohl ein <math>R_0</math>-Raum und ein <math>T_0</math>-Raum ist.

Beispiele

Die Zariski-Topologie auf einer algebraischen Varietät (im klassischen Sinne) ist T₁. Um das zu sehen, betrachten wir einen Punkt mit lokaler Koordinate <math>(c_1,\ldots, c_n)</math>. Die dazugehörige einpunktige Menge ist die Nullstellenmenge der Polynome <math>X-c_1,\ldots,X-c_n</math>. Der Punkt ist somit abgeschlossen.

Für ein weiteres Beispiel betrachten wir die kofinite Topologie auf einer abzählbaren Menge, etwa der Menge der ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math>. Als offene Menge definieren wir genau die leere Menge und die Mengen mit endlichem Komplement. Sie haben also alle die Gestalt <math>O_A = \Z \setminus A</math> mit einer endlichen Menge A. Seien nun x und y zwei verschiedene Punkte. Die Menge <math>O_{\{y\}}</math> ist eine offene Menge, die x enthält und y nicht. Andererseits enthält <math>O_{\{x\}}</math> das Element y, aber x nicht. Somit handelt es sich tatsächlich um einen T₁-Raum. Dies kann man aber auch aus der Tatsache folgern, dass einelementige Mengen abgeschlossen sind. Dieser Raum ist aber kein T₂-Raum. Denn für zwei endliche Mengen A und B gilt <math>O_{A}\cap O_{B} = O_{A\cup B}</math>, was nie leer sein kann. Weiter ist die Menge der geraden Zahlen kompakt, aber nicht abgeschlossen, was in einem T₂-Raum nie der Fall sein kann.

Allgemeiner gilt für jeden topologischen Raum, der das T₁-Axiom erfüllt, dass seine Topologie bereits die kofinite Topologie umfasst. Die kofinite Topologie ist somit die gröbste T₁-Topologie auf einer Menge.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.