R0-Raum
In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind R0-Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Die Eigenschaft, ein R0 zu sein, wird zu den sogenannten Trennungsaxiomen gezählt.
Definition
Gegeben seien ein topologischer Raum X und zwei Punkte x und y in X. Man sagt, dass x und y getrennt sind oder getrennt werden können, wenn x und y jeweils in einer offenen Menge liegen, die den anderen Punkt nicht enthält. Weiter heißen x und y topologisch unterscheidbar, falls eine offene Menge existiert, die genau einen der beiden Punkte enthält.
X heißt R0-Raum, falls zwei beliebige topologisch unterscheidbare Punkte getrennt sind. Ein R0-Raum wird auch symmetrischer Raum genannt.
Eigenschaften
Sei X ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:
- X ist ein R0-Raum.
- Für jedes x in X enthält der Abschluss von {x} nur die Punkte, die von x topologisch nicht unterscheidbar sind.
- Jeder Elementarfilter zu x konvergiert nur gegen Punkte, die von x topologisch nicht unterscheidbar sind.
- Der Kolmogoroff-Quotient KQ(X) ist ein T1-Raum.
In topologischen Räumen gilt immer folgende Implikation
- getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar
Falls diese umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R0-Raum.
Ist X ein R0-Raum, so gilt dies auch für jeden Teilraum.
Ist (Xi) eine Familie von R0-Räumen, so ist auch deren Produktraum ein R0-Raum und umgekehrt.
Beispiele
- <math>\mathbb{Z}</math> sei die Menge der ganzen Zahlen. Für <math>x \in \mathbb{Z}</math> sei <math>G_x</math> definiert durch <math>G_x = X \setminus \{x,x+1\}</math> für gerades <math>x</math> und <math>G_x = X \setminus \{x-1,x\}</math> für ungerades <math>x</math>. Durchläuft <math>A</math> die endlichen Teilmengen von <math>\mathbb{Z}</math>, so bilden die Mengen <math>U_A = \cap_{x\in A} G_x</math> eine Basis einer Topologie. Wir erhalten einen R0-Raum, der kein Kolmogoroff-Raum (für ein gerades <math>x</math> sind <math>x</math> und <math>x+1</math> topologisch nicht unterscheidbar) und somit auch kein T1-Raum ist.
- Ist <math>(X,d)</math> ein pseudometrischer Raum, so ist dieser in Bezug auf die von der Metrik <math>d</math> induzierte Topologie ein R0-Raum. Für die von einem Punkt <math>x \in X</math> topologisch nicht unterscheidbaren Punkte <math>y \in X</math> gilt gerade <math>d(x,y) = 0</math>.