Toeplitz-Algebra

Die Toeplitz-Algebra ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersuchte C*-Algebra, die eng mit Toeplitz-Operatoren zusammenhängt.

Definition

Sei <math>S\colon \ell^2 \rightarrow \ell^2</math> der unilaterale Shiftoperator auf dem Hilbertraum <math>\ell^2</math> mit der kanonischen Orthonormalbasis <math>e_n = (0,\ldots,0,1,0,\ldots), \, n=0,1,2,\ldots</math>, wobei die 1 an der <math>n</math>-ten Stelle steht. <math>S</math> ist als stetiger, linearer Operator durch die Bedingungen <math>Se_n=e_{n+1}</math> festgelegt.

Die Toeplitz-Algebra <math>\mathcal{T}</math> ist definiert als die von <math>S</math> erzeugte C*-Algebra.<ref name="Laustsen" />

Bemerkungen

Da <math>S</math> kein normaler Operator ist, ist <math>\mathcal{T}</math> nicht kommutativ.

<math>\mathcal{T}</math> enthält die eindimensionale Orthogonalprojektion <math>\langle \cdot, e_0\rangle e_0 = 1_{\ell^2}-SS^*</math>, also einen kompakten Operator. Man kann zeigen, dass <math>\mathcal{T}</math> irreduzibel auf <math>\ell^2</math> operiert und daher die Menge <math>\mathcal{K}(\ell^2)</math> aller kompakten Operatoren auf <math>\ell^2</math> enthalten muss. Insbesondere ist <math>\mathcal{K}(\ell^2)</math> ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in <math>\mathcal{T}</math>.

Toeplitz-Operatoren

Nimmt man statt des Folgenraums <math>\ell^2</math> mit der kanonischen Orthonormalbasis den Hardy-Raum <math>H^2</math> mit der Orthonormalbasis <math>e_n: \mathbb{T}=\{z\in \Complex \mid |z|=1\}\rightarrow \Complex</math>, <math>z\mapsto z^n</math>, <math>n=0,1,2,\ldots</math>, so ist der Shiftoperator nichts anderes als die Multiplikation mit <math>z</math>, denn <math>z\cdot z^n=z^{n+1}</math>.

Für eine wesentlich beschränkte, messbare Funktion <math>f\colon \mathbb{T}\rightarrow \Complex</math> wird die Kompression des Multiplikationsoperators <math>L^2(\mathbb{T})\rightarrow L^2(\mathbb{T}), \varphi \mapsto f\cdot \varphi</math> auf den Unterraum <math>H^2</math> mit <math>T_f</math> bezeichnet, solche Operatoren heißen Toeplitz-Operatoren. Damit ist der Shiftoperator der Toeplitz-Operator <math>T_{\mathrm{id}_{\mathbb{T}}}</math>. Die davon erzeugte C*-Algebra ist mittels der unitären Abbildung <math>\ell^2\rightarrow H^2</math>, die die angegebenen Orthonormalbasen aufeinander abbildet, unitär äquivalent zu <math>\mathcal{T}</math>, sie wird daher ebenfalls als die Toeplitz-Algebra <math>\mathcal{T}</math> angesprochen. Man erhält folgende Gleichung

<math>\mathcal{T} = \{T_f+K \mid f\in C(\mathbb{T}), K\in \mathcal{K}(H^2)\}</math>.<ref name="DavidsonV1" />

Dabei ist <math> C(\mathbb{T})</math> die Funktionenalgebra der stetigen Funktionen <math>\mathbb{T}\rightarrow \Complex</math>. Das Symbol <math>f</math> des Toeplitz-Operators ist dabei eindeutig bestimmt. Man erhält folgende kurze exakte Sequenz

<math>\{0\} \rightarrow \mathcal{K}(H^2) \, \xrightarrow[]{\quad\subset\quad} \, \mathcal{T} \, \xrightarrow[]{T_f+K \to f}\, C(\mathbb{T}) \rightarrow \{0\}</math><ref name="DavidsonV1" /><ref name="Khalkhali" />

von C*-Algebren und *-Homomorphismen. Da <math>C(\mathbb{T})</math> als kommutative C*-Algebra liminal ist, ergibt sich aus dieser Sequenz, dass die Toeplitz-Algebra postliminal, aber nicht liminal ist.

Satz von Coburn

Der Satz von Coburn kennzeichnet die Toeplitz-Algebra als eine C*-Algebren, die von einer echten Isometrie, das heißt einem Element <math>V</math> mit <math>V^*V=1, VV^*\not= 1</math>, erzeugt wird:

Ist <math>\mathcal{A}</math> eine C*-Algebra, die von einer echten Isometrie <math>V</math> erzeugt wird, so gibt es genau einen *-Isomorphismus <math>\varphi\colon \mathcal{T} \rightarrow \mathcal{A}</math> mit <math>\varphi(S)=V</math>.<ref name="Coburn" /><ref name="DavidsonV2" />

Für den Beweis ist es wesentlich, dass die Isometrie echt ist. Ist die Isometrie <math>V</math> nicht echt, also unitär, so ist die von <math>V</math> erzeugte C*-Algebra kommutativ und kann daher nicht isomorph zu <math>\mathcal{T}</math> sein.

K-Gruppen

Die K-Theorie für die Toepolitz-Algebra <math>\mathcal{T}</math> sieht wie folgt aus. <math>K_0(\mathcal{T}) \cong \Z</math> und ein erzeugendes Element ist durch die Äquivalenzklasse einer eindimensionalen Orthogonalprojektion gegeben. Die <math>K_1</math>-Gruppe verschwindet, das heißt <math>K_1(\mathcal{T})\cong \{0\}</math>.<ref name="Laustsen" />

Verallgemeinerung

Bei Nikolski findet sich eine etwas allgemeinere Definition.<ref name="Nikolski" /> Dort ist die Toeplitz-Algebra die Unteralgebra von <math>L(H^2)</math>, die von allen Toeplitz-Operatoren erzeugt wird. Der Autor räumt ein, dass diese Algebra für Untersuchungen zu groß sei, auch wenn sie nicht mit <math>L(H^2)</math>, der Algebra aller stetigen, linearen Operatoren auf <math>H^2</math>, zusammenfällt. Ist <math>X\subset L^\infty(\mathbb{T})</math> eine abgeschlossene Unteralgebra, so sei <math>\mathrm{alg} \mathcal{T}_X</math> die von <math>\{T_f\mid f\in X\}</math> erzeugte abgeschlossene Unteralgebra von <math>L(H^2)</math>. Die allgemeinere Toeplitz-Algebra im Sinne Nikolskis ist damit gleich <math>\mathrm{alg}\mathcal{T}_{L^\infty(\mathbb{T})}</math>, die oben in diesem Artikel betrachtete Toeplitz-Algebra <math>\mathcal{T}</math> ist gleich. <math>\mathrm{alg}\mathcal{T}_{C(\mathbb{T})}</math>.

Einzelnachweise

<references> <ref name="DavidsonV1"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="DavidsonV2"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Coburn"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Nikolski"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Khalkhali"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Laustsen"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> </references>