Formelsammlung Stochastik
Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet Stochastik einschließlich Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinatorik, Zufallsvariablen und Verteilungen sowie Statistik.
Notation
In der Stochastik gibt es neben der üblichen mathematischen Notation und den mathematischen Symbolen folgende häufig verwendete Konventionen:
- Zufallsvariablen werden in Großbuchstaben geschrieben: <math>X</math>, <math>Y</math> etc.
- Realisierungen einer Zufallsvariablen werden mit den entsprechenden Kleinbuchstaben geschrieben, z. B. für die Beobachtungen in einer Stichprobe: <math>x_1, x_2, \ldots , x_n</math>.
- Für die Bezeichnung von Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten werden Kleinbuchstaben benutzt, z. B. <math>f(x)</math>.
- Für die Bezeichnung von Verteilungsfunktionen werden Großbuchstaben benutzt, z. B. <math>F(x)</math>.
- Speziell die Wahrscheinlichkeitsdichte der Standardnormalverteilung wird die Bezeichnung <math>\varphi(z)</math> und für die Verteilungsfunktion <math>\Phi(z)</math> benutzt.
- Griechische Buchstaben (z. B. <math>\theta, \beta</math>) werden benutzt, um unbekannte Parameter (Parameter der Grundgesamtheit) zu bezeichnen.
- Eine Schätzfunktion wird häufig mit einem Zirkumflex über dem entsprechenden Symbol bezeichnet, z. B. <math>\hat{\theta}</math> (gesprochen: Theta Dach).
- Das arithmetische Mittel wird mit <math>\bar{x}</math> bezeichnet (gesprochen: <math>x</math> quer).
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Im Folgenden sei stets ein Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> gegeben. Darin ist der Ergebnisraum <math>\Omega</math> eine beliebige nichtleere Menge, <math>\Sigma</math> eine σ-Algebra von Teilmengen von <math>\Omega</math>, die <math>\Omega</math> enthält, und <math>P</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>\Omega.</math>
Grundlagen
Axiome: Jedem Ereignis <math>A \in \Sigma</math> wird eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> zugeordnet, so dass gilt:
- <math>0\le P(A)\le 1</math>,
- <math>P(\Omega)=1\, </math>,
- für paarweise disjunkte Ereignisse <math>A_1, A_2, \dots</math> gilt <math>P(A_1\cup A_2 \cup \dots)=P(A_1)+P(A_2)+\dots</math>
Rechenregeln: Aus den Axiomen ergibt sich:
- <math>P(\emptyset) = 0</math>
- Für <math>A \subset B</math> gilt <math>P(B \setminus A) = P(B) - P(A)</math>, insbesondere <math>P(A) \le P(B)</math>
- Für das Gegenereignis <math>\overline{A} = \Omega\setminus A</math> gilt <math>P(\overline{A}) = 1 - P(A)</math>
- <math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math>
- <math>P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}</math>
- <math>P(A \vert B) = P_{B}(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}</math>
- <math>P(B \vert A) =\frac{P(B) P(A \vert B)}{P(B) P(A \vert B) + P(\overline{B}) P(A \vert \overline{B})}</math>
- Zwei Ereignisse <math>A, B</math> sind unabhängig <math>\Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)</math>
Kombinatorik
Fakultät: Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen aller <math>n</math> Kugeln aus einer Urne (ohne Zurücklegen):
- <math>n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot \dots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=n\cdot(n-1)!</math>
wobei <math>0!=1!=1</math>
| ohne Wiederholung (von n Elementen) <math>(a,b,c)</math> |
mit Wiederholung (von r + s + … + t = n Elementen, von denen jeweils r, s … t nicht unterscheidbar sind) <math>(a,a,b)</math> | |
|---|---|---|
| Permutation <math>(a,b) \ne (b,a)</math> |
<math>~n!~</math> | <math>\frac{(r + s + \ldots + t)!}{r! \cdot s! \cdot \ldots \cdot t!} = \frac{n!}{r! \cdot s! \cdot \ldots \cdot t!}</math> |
Binomialkoeffizient „n über k“
- <math>{n \choose k} = {n! \over k!(n-k)!}</math>
Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen von <math>k</math> Kugeln aus einer Urne mit <math>n</math> Kugeln:
| ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen) (siehe Hypergeometrische Verteilung) <math>(a,b,c)</math> <math>\{a,b,c\}</math> |
mit Wiederholung (mit Zurücklegen) (siehe Binomialverteilung) <math>(a,a,b)</math> <math>\{a,a,b\}</math> | |
|---|---|---|
| Variation <math>(a,b) \ne (b,a)</math> |
<math>{n \choose k}{\cdot k!} = \frac{n!}{ \left( n-k \right) !}</math> | <math>~n^k~</math> |
| Kombination <math>\{a,b\} = \{b,a\}</math> |
<math>{n \choose k} = \frac{n!}{{\left( n-k \right) !} \cdot k!}</math> | <math>\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right) = {n + k -1 \choose k} = \frac{ \left( n + k -1 \right)! }{{\left( n-1 \right)! \cdot k!} }</math> |
Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsgrößen
Eine Funktion <math>f</math> heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen <math>X</math>, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
- Für alle <math>x \in \mathbb{Z}</math> gilt <math>f(x) \ge 0</math>
- <math> \sum_{ x \in \Z} f(x)= 1</math>
Für die zugehörige Zufallsvariable gilt dann:
- <math> P(X=x) = f(x)</math>
Eine Zufallsgröße <math>X</math> und deren Verteilung heißen diskret, falls die Funktion <math>f(x)=P(X=x)</math> die Eigenschaft (2) hat. Man nennt <math>f(x)</math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math>X</math>.
- <math> E(X) = \mu = \sum_{ x \in \Z}\, x\cdot f(x) </math>
- <math> E(g(X)) = \sum_{ x \in \Z}\, g(x) \cdot f(x) </math>
- <math> V(X) = \sigma ^2 = \sum_{ x \in \Z}\, (x- \mu )^2 \cdot f(x)</math>
Stetige Zufallsgrößen
Eine Funktion <math>f</math> heißt Dichte(-Funktion) einer stetigen Zufallsvariablen <math>X</math>, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
- Für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> gilt <math>f(x) \ge 0</math>
- <math> \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\mathrm dx = 1</math>
Für eine stetige Zufallsgröße gilt dann:
- <math> P(a \le X \le b) = \int\limits_{a}^{b} f(x) \mathrm dx</math>
Eine Zufallsgröße <math>X</math> und deren Verteilung heißen stetig, falls es eine geeignete Dichtefunktion <math>f</math> mit dieser Eigenschaft gibt. Die Funktion <math>f</math> heißt Dichte(Funktion) von <math>X</math>.
Für die Wahrscheinlichkeit gilt
- <math>P(X=a) = 0\,</math> für alle <math>a\in \mathbb{R}</math>
- <math>P(a \le X \le b)=P(a < X \le b)=P(a \le X < b)=P(a < X < b)</math>
Erwartungswert und Varianz sind gegeben durch
- <math> E(X) = \mu = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \mathrm dx</math>
- <math> E(g(X)) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x) \cdot f(x) \mathrm dx</math>
- <math> V(X) = \sigma ^2 = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} (x- \mu )^2 \cdot f(x) \mathrm dx</math>
Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Korrelation
Für den Erwartungswert <math>E(X)</math>, die Varianz <math>V(X)</math>, die Kovarianz <math>\operatorname{Cov}(X,Y)</math> und die Korrelation <math>\varrho(X,Y)</math> gelten:
- <math>E(aX+b) = aE(X) + b</math>
- <math>E(X+Y) = E(X) + E(Y)</math>, allgemein <math>E(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n E(X_i)</math>
- Für unabhängige Zufallsvariablen <math>X_i</math> gilt: <math>E(\prod_{i=1}^n X_i) = \prod_{i=1}^n E(X_i)</math>
- <math>V(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - E(X)^2</math>
- <math>V(aX + b) = a^2V(X)</math>
- Für unabhängige Zufallsvariablen <math>X_i</math> gilt: <math>V(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n V(X_i)</math>
- <math>\operatorname{Cov}(X,Y) = E((X-E(X))(Y-E(Y))) = E(XY) - E(X)E(Y)</math>
- <math>\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(Y,X)</math>
- <math>\operatorname{Cov}(X,X) = V(X)</math>
- <math>\operatorname{Cov}(aX+b,Y) = a\operatorname{Cov}(X,Y)</math>
- <math>\operatorname{Cov}(X_1+X_2,Y) = \operatorname{Cov}(X_1,Y) + \operatorname{Cov}(X_2,Y)</math>
- <math>V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y)</math>
- <math>\varrho(X,Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)}}</math>
- <math>P(|X-E(X)|\ge\alpha)\le\frac{V(x)}{\alpha^2}</math>
Spezielle Verteilungen
Binomialverteilung
Gegeben ist ein <math>n</math>-stufiger Bernoulli-Versuch (d. h. <math>n</math> mal dasselbe Experiment, unabhängig voneinander, mit nur zwei möglichen Ausgängen und konstanten Wahrscheinlichkeiten) mit der Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> und der Misserfolgswahrscheinlichkeit <math>q=1-p</math>. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße <math>X</math>: Anzahl der Erfolge heißt Binomialverteilung.
Die Wahrscheinlichkeit für <math>k</math> Erfolge berechnet sich nach der Formel:
- <math>P(X=k) = \binom nk \cdot p^k \cdot q^{n-k}</math>
- <math>\mu=E(X)=n \cdot p</math>
- <math>\sigma^2 = V(X) = n \cdot p \cdot q</math>
- <math>\sigma = \sigma(X)= \sqrt{V(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot q}</math>
σ-Regeln
(Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen des Erwartungswertes bei Binomialverteilungen) Zwischen dem Radius einer Umgebung um den Erwartungswert und der zugehörigen Wahrscheinlichkeit der Umgebung gelten folgende Zuordnungen (falls <math>\sigma >3</math>):
| Radius der Umgebung | Wahrscheinlichkeit der Umgebung |
|---|---|
| 1σ | 0,68 |
| 2σ | 0,955 |
| 3σ | 0,997 |
| Wahrscheinlichkeit der Umgebung | Radius der Umgebung |
|---|---|
| 0,90 | 1,64σ |
| 0,95 | 1,96σ |
| 0,99 | 2,58σ |
Standardisieren einer Verteilung
Hat die Zufallsvariable <math>X</math> eine Verteilung mit Erwartungswert <math>E(X)= \mu</math> und Standardabweichung <math>\sigma</math>, dann wird die standardisierte Variable <math>X^*</math> definiert durch
- <math>X^*=\frac{X-\mu}{\sigma}.</math>
Die standardisierte Variable <math>X^*</math> hat den Erwartungswert 0 und die Standardabweichung 1.
Poisson-Näherung
Gegeben sei eine Binomialverteilung mit großem Stichprobenumfang <math>n</math> ≥ 100 und kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p \leq 0,1</math>. Mithilfe von <math>\mu=n\cdot p</math> kann man dann näherungsweise die Wahrscheinlichkeit für <math>k</math> Erfolge berechnen:
- <math> P(X=0) \approx e^{- \mu}</math>
- <math> P(X=k) \approx \frac{\mu}{k} \cdot P(X=k-1)</math>
Die Beziehungen lassen sich zusammenfassen zu:
- <math> P(X=k) \approx \frac{\mu ^k}{k!} \cdot e^{- \mu}</math>
Poisson-Verteilung
Gilt für die Verteilung einer Zufallsgröße <math>X</math>
- <math> P(X=k) = \frac{\mu ^k}{k!} \cdot e^{- \mu}</math>
Näherungsformeln von Moivre und Laplace
Sei <math>X</math> eine binomialverteilte Zufallsgröße mit <math>\sigma > 4</math> (brauchbare Näherung besser <math>\sigma > 9</math>). Die Wahrscheinlichkeit für genau und höchstens <math>k</math> Erfolge lässt sich näherungsweise berechnen durch:
- <math>P(X=k) \approx {1 \over \sigma}\cdot\varphi \left({k-\mu \over \sigma}\right)</math>
- <math>P(X \le k) = F_X(k) \approx \varphi \left({k-\mu \over \sigma}\right)</math>
Standardnormalverteilung
Die Dichte(Funktion) <math>\varphi</math> (auch als Glockenkurve bekannt) der Standardnormalverteilung ist definiert durch:
- <math> \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^2}</math>
und die Verteilungsfunktion <math>\Phi</math> durch:
- <math>\Phi(z) = \int\limits_{-\infty}^{z} \varphi (x) d x</math>
Näherungsformeln für eine diskrete Verteilung unter Anwendung der Kontinuitätkorrektur:
- <math>P(X=k) \approx \Phi \left( \frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi \left( \frac{k-0{,}5-\mu}{\sigma}\right)</math>
- <math>P(X\le k) \approx \Phi \left( \frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right)</math>
- <math>P(a\le X\le b) \approx \Phi \left( \frac{b+0{,}5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi \left( \frac{a-0{,}5-\mu}{\sigma}\right)</math>
Hypergeometrische Verteilung
In einer Grundgesamtheit vom Umfang <math>N</math> seien zwei Merkmalsausprägungen vom Umfang <math>K</math> bzw. <math>N-K</math> vertreten. Eine Stichprobe vom Umfang <math>n</math> werde genommen. Dann nennt man die Verteilung der Zufallsgröße <math>X</math>: Anzahl der Exemplare der 1. Merkmalsausprägung in der Stichprobe einer hypergeometrischen Verteilung.
Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe vom Umfang <math>n</math> genau <math>k</math> Exemplare der 1. Merkmalsausprägung sind, ist:
- <math>P(X=k)={\binom{K}{k}\cdot\binom{N-K}{n-k}\over\binom{N}{n}}</math>
<math>N</math> = Anzahl der Elemente, <math>K</math> = Anzahl der positiven Elemente, <math>n</math> = Anzahl der Ziehungen, <math>k</math> = Anzahl der Erfolge.
Sei <math>p=\tfrac KN</math> der Anteil, mit dem die 1. Merkmalsausprägung in der Gesamtheit vorkommt, dann gilt:
- <math> \mu = E(X) = n\cdot p = n\cdot \frac{K}{N}</math>
- <math> \sigma^2 = V(X) = n\cdot p (1-p) \frac{N-n}{N-1}= n\cdot \frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}</math>
Geometrische Verteilung
Gegeben ist ein Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math>. Die Verteilung der Zufallsgröße <math>W</math>: Anzahl der Stufen bis zum ersten Erfolg heißt geometrische Verteilung. Es gilt:
- <math>P(W=k) = p\cdot q^{k-1}</math> (Erfolg genau beim <math>k</math>-ten Versuch)
- <math>\, P(W > k)=q^{k}</math> (<math>k</math> Misserfolge hintereinander bzw. der erste Erfolg kommt erst nach dem <math>k</math>-ten Versuch)
- <math>P(W\le k)=1-q^{k}</math> (Erfolg spätestens beim <math>k</math>-ten Versuch bzw. bis zum <math>k</math>-ten Versuch tritt mindestens ein Erfolg ein)
Der Erwartungswert ist
- <math> E(W) = \frac{1}{p}</math>
Weitere
Die unzähligen weiteren speziellen Verteilungen können hier nicht alle aufgeführt werden, es sei auf die Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwiesen.
Approximationen von Verteilungen
Unter gewissen Approximationsbedingungen können Verteilungen auch durcheinander approximiert werden um Berechnungen zu vereinfachen. Je nach Lehrbuch können die Approximationsbedingungen etwas unterschiedlich sein.
| Nach | |||
|---|---|---|---|
| Von | <math>B(n, p)</math> | <math>Po(\lambda)</math> | <math>N(\mu,\sigma)</math> |
| Diskrete Verteilungen | |||
| Binomialverteilung <math>B(n, p)</math> |
-- | <math>n>10, p<0{,}05</math>, <math>\lambda:=np</math> |
<math>np(1-p)\geq 9</math>, <math>\mu:=np, \sigma^2:=np(1-p)</math> |
| Hypergeometrische Verteilung <math>Hyp(N, M, n)</math> |
<math>\frac{n}{N}<0{,}05</math> <math>p:=\frac{M}{N}</math> |
<math>n>10</math>, <math>\frac{M}{N} < 0{,}05</math>, <math>\lambda:=n\frac{M}{N}</math> |
<math>n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\geq 9</math> <math>\mu := n\frac{M}{N}, \sigma^2 := n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}</math> |
| Poisson-Verteilung <math>Po(\lambda)</math> |
-- | <math>\lambda>9</math>, <math>\mu:=\lambda, \sigma^2:=\lambda</math> | |
| Stetige Verteilungen | |||
| Chi-Quadrat-Verteilung <math>\chi^2_n</math> |
<math>n>30</math> <math>\mu:=n, \sigma^2:=2n</math> | ||
| Studentsche t-Verteilung <math>t_n</math> |
<math>n>30</math> <math>\mu:=0, \sigma^2:=1</math> | ||
| Normalverteilung <math>N(\mu,\sigma)</math> |
-- | ||
Bei dem Übergang von einer diskreten Verteilung zu einer stetigen Verteilung kommt auch noch eine Stetigkeitskorrektur (wenn <math>\sigma^2\leq 9</math> oder <math>n\leq 60</math>) in Betracht <math>P(a \leq X_\text{diskret} \leq b) \approx P(a - 0{,}5 \leq X_\text{stetig} \leq b + 0{,}5)</math> und insbesondere <math>P(X_\text{diskret}=a) \approx P(a - 0{,}5 \leq X_\text{stetig} \leq a + 0{,}5)</math>.<ref>Yates, F. (1934). Contingency Tables Involving Small Numbers and the χ2 Test. Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society 1(2): 217–235. JSTOR Archive for the journal</ref>
Kritische Werte
Das <math>\alpha</math>-Level ist der Wert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für den gilt: <math>F(x_\alpha) = \alpha</math>. Es gibt eine Standardnotation für einige häufig verwendete Verteilungen:
- <math>z_\alpha</math> oder <math>z(\alpha)</math> für die Standardnormalverteilung
- <math>t_{\alpha,\nu}</math> oder <math>t(\alpha,\nu)</math> für die t-Verteilung mit <math>\nu</math> Freiheitsgraden
- <math>\chi^2_{\alpha,\nu}</math> oder <math>\chi^2(\alpha,\nu)</math> für die Chi-Quadrat-Verteilung mit <math>\nu</math> Freiheitsgraden
- <math>F_{\alpha,\nu_1,\nu_2}</math> oder <math>F(\alpha,\nu_1,\nu_2)</math> für die F-Verteilung mit <math>\nu_1</math> und <math>\nu_2</math> Freiheitsgraden
Statistik
Beschreibende Statistik
Lagemaße
Arithmetisches Mittel: <math>\bar x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{x_i} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}</math>
Streuungsmaße
empirische Varianz: <math>s^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\bar x\right)^2 = \frac{1}{n}\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right) - \bar{x}^2</math>
empirische Standardabweichung: <math>s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\bar x\right)^2}</math>
Zusammenhangsmaße
- <math>s_{xy} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{(x_i-\bar{x}) (y_i-\bar{y})} = \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right) - \bar{x}\bar{y},</math>
Empirischer Korrelationskoeffizient:
- <math>r_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y} = \frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^2\sum (y_i-\bar y)^2}}</math>
Gleichung der Regressionsgeraden einer linearen Einfachregression: <math>y=ax+b</math> mit
- <math>a=\frac{s_{xy}}{s_x^2}=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2}</math>
- <math>b=\bar y-a\bar x</math>,
wobei <math>\bar x</math> und <math>\bar y</math> die arithmetischen Mittel bedeuten.
Mittelwerte
| Mittelwert | Zwei Zahlen | Allgemein |
|---|---|---|
| Modus | Ausprägung mit höchster Häufigkeit | |
| Median (Zentralwert) | Sofern <math>x_1, \dotsc, x_n</math> sortiert sind:
<math>\bar{x}_\mathrm{med} =\begin{cases} x_{(\frac{n+1}{2})}, & n\text{ ungerade,}\\
\frac 12\left(x_{({\frac n2})} + x_{({\frac n2+1})}\right), & n \text{ gerade.}
\end{cases} </math> | |
| Arithmetisches Mittel | <math>\frac{a+b}2</math> | <math> \bar{x}_{\mathrm{arithm}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{x_i} = \frac{x_1 + x_2 + \dotsb + x_n}{n}</math> |
| Geometrisches Mittel | <math>\sqrt{ab}</math> | <math> \bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsm x_n} </math> |
| Harmonisches Mittel | <math>\frac2{\frac1a+\frac1b}</math> | <math> \bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dotsb + \frac{1}{x_n}}</math> |
| Quadratisches Mittel | <math>\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}</math> | <math> \bar{x}_\mathrm{quadr} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^2}} = \sqrt {{x_1^2 + x_2^2 + \dotsb + x_n^2} \over n}
</math> |
Schließende Statistik
Parameter
Im Allgemeinen werden in der Statistik unbekannte Parameter der Grundgesamtheit oder eines Modells mit griechischen Buchstaben (z. B. <math>\theta, \beta</math>) bezeichnet.
- Das arithmetische Mittel in der Grundgesamtheit: <math>\mu</math>.
- Die Varianz in der Grundgesamtheit: <math>\sigma^2</math>.
- Den Anteilswert einer dichotomen Variablen in der Grundgesamtheit: <math>\pi</math>.
- Der Achsenabschnitt <math>\beta_0</math> und die Steigung <math>\beta_1</math> im einfachen linearen Regressionsmodell <math>Y_i=\beta_0+\beta_1 x_i+U_i</math>.
Schätzfunktionen
Eine Schätzfunktion für einen unbekannten Parameter wird häufig durch einen Großbuchstaben der Parameterbezeichnung aus der beschreibenden Statistik bezeichnet. Die Schätzfunktion ergibt sich aus den Stichprobenvariablen <math>X_1, \ldots, X_n</math>.
| Parameter | Bedingung | Schätzfunktion | Verteilung |
|---|---|---|---|
| <math>\mu</math> | <math>\bar{X}=\frac1n \sum_{i=1}^n X_i</math> | 1. <math>X_i\sim N(\mu; \sigma^2) \Rightarrow \bar{X} \sim N(\mu;\sigma^ 2/n)</math> 2. Wenn der zentrale Grenzwertsatz gilt, dann gilt <math>\bar{X} \approx N(\mu;\sigma^ 2/n)</math> | |
| <math>\sigma^2</math> | <math>\mu</math> bekannt | <math>S^{*2}=\frac1n \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2</math> | <math>X_i\sim N(\mu; \sigma^2) \Rightarrow \frac{nS^{*2}}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n}</math> |
| <math>\sigma^2</math> | <math>\mu</math> unbekannt | <math>S_n^2=\frac1{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2</math> | <math>X_i\sim N(\mu; \sigma^2) \Rightarrow \frac{(n-1)S_n^{2}}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}</math> |
| <math>\pi</math> | <math>\Pi=\frac1n \sum_{i=1}^n X_i</math> | 1. Ziehen mit Zurücklegen: <math>\Pi\sim B(n; \pi)</math> 2. Ziehen ohne Zurücklegen: <math>\Pi\sim Hyp(N; M; n)</math> | |
| <math>\beta_0</math>, <math>\beta_1</math> | <math>B_k=\sum_{i=1}^n Y_i w_i^{(k)}(x_1,\ldots,x_n)</math> | Wenn <math>U_i\sim N(0; \sigma_u^ 2)</math>, dann folgt <math>B_k \sim N(\beta_k; \sigma_{B_k}^2)</math> |
Punktschätzer und Konfidenzintervalle
| Parameter | Punktschätzer | <math>1-\alpha</math> Konfidenzintervall |
|---|---|---|
| <math>\mu</math> | <math>\hat{\mu}=\bar{x}=\frac1n \sum_{i=1}^n x_i</math> | 1. Wenn <math>\sigma</math> bekannt: <math>[\bar{X}-z_{1-\alpha/2}\sigma/\sqrt{n};\bar{X}+z_{1-\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}]</math> |
| 2. Wenn <math>\sigma</math> unbekannt: <math>[\bar{X}-t_{n-1;1-\alpha/2}S/\sqrt{n};\bar{X}+t_{n-1;1-\alpha/2}S/\sqrt{n}]</math> | ||
| <math>\sigma^2</math> | <math>\hat{\sigma}^2=s_n^2=\frac1{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2</math> | |
| <math>\pi</math> | <math>\hat{\pi}=p=\frac1n \sum_{i=1}^n x_i</math> | 1. Ziehen mit Zurücklegen: Wenn <math>\Pi\approx N\left(\pi; \tfrac{\pi(1-\pi)}{n}\right)</math>, dann gilt approximativ: <math>\left[\Pi-z_{1-\alpha/2} \sqrt{\tfrac{\pi(1-\pi)}{n}}; \Pi+z_{1-\alpha/2} \sqrt{\tfrac{\pi(1-\pi)}{n}}\right]</math> |
| 2. Ziehen ohne Zurücklegen: Wenn <math>\Pi\approx N\left(\pi; \tfrac{\pi(1-\pi)}{n}\tfrac{N-n}{N-1}\right)</math>, dann gilt approximativ: <math>\left[\Pi-z_{1-\alpha/2} \sqrt{\tfrac{\pi(1-\pi)}{n} \tfrac{N-n}{N-1}}; \Pi+z_{1-\alpha/2} \sqrt{\tfrac{\pi(1-\pi)}{n} \tfrac{N-n}{N-1}}\right]</math> | ||
| Bei der Berechnung eines Schätzintervalls mittels einer Stichprobe in 1. und 2. wird <math>\pi</math> durch <math>p</math> ersetzt. |
Einzelnachweise
<references />