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Euler-Mascheroni-Konstante – Wikipedia Zum Inhalt springen

Euler-Mascheroni-Konstante

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Euler-Konstante)

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}}Die Euler-Mascheroni-Konstante (nach den Mathematikern Leonhard Euler und Lorenzo Mascheroni), manchmal lediglich auch Eulersche Konstante genannt, ist eine wichtige mathematische Konstante, die nicht zuletzt in den mathematischen Gebieten Zahlentheorie und Analysis in Erscheinung tritt. Sie wird heutzutage mit dem griechischen Buchstaben <math>\gamma</math> (Gamma) bezeichnet.

Datei:Gamma-area.svg
Die blaue Fläche stellt die Eulersche Konstante dar.

Die Konstante ist als der folgende Grenzwert definiert:

<math>\gamma = \lim_{n\to\infty} \left(H_n - \ln n\right)

= \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n \right) </math>,

wobei <math>H_n</math> für die <math>n</math>-te harmonische Zahl steht und <math>\ln</math> den natürlichen Logarithmus bezeichnet.

Damit verbunden ist die Darstellung der euler-mascheronischen Konstanten in der Form

<math>\gamma

= \int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,\mathrm dx,</math>

wobei <math>\lfloor x \rfloor</math> die Abrundungsfunktion ist.

Die ersten 100 dezimalen Nachkommastellen lauten (siehe: Folge A001620 in OEIS)

<math>\gamma = 0{,}57721 \, 56649 \, 01532 \, 86060 \, 65120 \, 90082 \, 40243 \, 10421 \, 59335 \, 93992 \, 35988 \, 05767 \, 23488 \, 48677 \, 26777 \, 66467 \, 09369 \, 47063 \, 29174 \, 67495 \, \ldots</math>

Heute (Stand vom 7. September 2023) sind 1.337.000.000.000 dezimale Nachkommastellen bekannt.<ref name="Numberworld" />

Allgemeines

Trotz vieler Bemühungen gibt es bis heute keine Antwort auf die Frage, ob <math>\gamma</math> rational oder irrational ist. Es ist auch ungeklärt, ob sie eine algebraische Zahl oder eine transzendente Zahl ist.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Thomas Jagau|Thomas Jagau: }}{{#if:|{{#if:Is the Euler-Mascheroni constant an irrational number?|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Is the Euler-Mascheroni constant an irrational number?}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:Question of the Week| Question of the Week{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel=Question of the Week}}}}}}|{{#if:https://junq.info/?p=754%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Is the Euler-Mascheroni constant an irrational number?}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://junq.info/?p=754}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Is the Euler-Mascheroni constant an irrational number?}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Question of the Weekjunq.infoJournal of Unsolved Questions2011-05-11{{#if: 2024-04-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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<math>\gamma = \left[0;\ 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, 4, 1, 65, 1, 4, 7, 11, 1, 399, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 2, 1, \, \dotsc\right]</math>

erhält man untere Schranken für positive ganze Zahlen <math>p</math> und <math>q</math> mit <math>\gamma = \tfrac{p}{q}</math> (zum Beispiel ergeben 475.006 Teilnenner die Abschätzung <math>q > 10^{244.663}</math>).<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Bruno Haible, Thomas Papanikolaou|Bruno Haible, Thomas Papanikolaou: }}{{#if:|{{#if:Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers}}]{{#if:PDF; 196 kB| (PDF; 196 kB)}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.ginac.de/CLN/binsplit.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.ginac.de/CLN/binsplit.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers}}}}]}}{{#if:PDF; 196 kB| (PDF; 196 kB{{#if:ginac.de1997{{#if: 2024-04-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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Im Gegensatz (etwa) zu Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen beim Satz des Pythagoras und zur Kreiszahl <math>\pi</math> bei Umfang und Fläche eines Kreises mit rationalem Radius tritt die Eulersche Konstante bei endlichen elementargeometrischen Problemen nicht auf.

Es gibt jedoch viele technische Probleme, die auf die Summierung der endlichen harmonischen Reihe <math>H_n</math> führen, wie etwa das Schwerpunktproblem des freitragenden Auslegers oder das Problem der optimalen Sitzreihen-Erhöhung in Theatern und Kinos. Die Eulersche Konstante tritt bei vielen Problemen der Analysis, Zahlentheorie und Funktionentheorie und insbesondere bei speziellen Funktionen auf.

Die Euler-Mascheroni-Konstante in mathematischen Problemen

Die Eulersche Konstante tritt in der Mathematik häufig und manchmal auch ganz unerwartet in unterschiedlichen Teilgebieten auf. Hauptsächlich tritt sie bei Grenzwertprozessen von Zahlenfolgen und Funktionen sowie bei Grenzwerten der Differential- und Integralrechnung auf. Das Auftreten lässt sich (wie auch bei anderen mathematischen Konstanten) je nach Art des Grenzwertes oder der Reihenentwicklung unterteilen.

Konvergenz

Die Existenz der Eulerschen Konstanten ergibt sich aus der Teleskopsumme

<math>

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left[\sum_{k=1}^n \frac1{k} - \ln(n+1) \right] 

      = \sum_{k=1}^{\infty}\left[ \frac1{k} - \ln\biggl(\frac{k+1}{k}\biggr) \right]

</math> Da <math>\ln(n+1)-\ln(n)</math> eine Nullfolge ist, kann im definierenden Grenzwert <math>\ln(n+1)</math> anstelle von <math>\ln(n)</math> verwendet werden. Es gilt

<math>
   \frac{1}{k}-\ln\frac{k+1}{k}=\frac{1}{k}-\int_{k}^{k+1}\frac{\mathrm dx}{x} = \int_{k}^{k+1}\frac{x-k}{xk}\,\mathrm dx=\frac 1k\int_{0}^{1}\frac{x}{x+k}\,\mathrm dx.

</math> Wegen

<math>
   \frac 1{2(k+1)} = \int_0^1 \frac x{1+k}\,\mathrm dx\le \int_0^1\frac x{x+k}\,\mathrm dx\le\int_0^1 \frac xk \,\mathrm dx = \frac 1{2k}

</math> gilt also

<math>
   \frac1{2k\cdot(k+1)} \le \frac{1}{k}-\ln\frac{k+1}{k}\le\frac1{2k^2}

</math>, und somit konvergiert die Summe gemäß dem Majorantenkriterium.

Insbesondere folgt aus diesem elementaren Argument und

<math>
   \sum_{k=1}^\infty \frac1{k\cdot(k+1)} = \sum_{k=1}^\infty \left(\frac1k-\frac1{k+1}\right) = 1

</math> sowie dem Basler Problem, dass

<math>
   \frac12 \le \gamma \le \frac{\pi^2}{12}

</math> gilt.

Zetafunktion und Gammafunktion

Der Wert <math>\gamma</math> ist das Negative der Ableitung der Gammafunktion an der Stelle 1, also

<math>\Gamma^\prime (1) = \psi(1) = -\gamma</math>.

Hieraus ergeben sich die folgenden Grenzwertdarstellungen, wobei <math>\zeta(s)</math> die Riemannsche Zeta-Funktion und <math>\psi(z)</math> die Digamma-Funktion bezeichnet:

<math>\lim_{s\to 1}\left(\zeta(s)-\frac{1}{s-1}\right) = \gamma</math>
<math>\lim_{z\to 0} \left\{\Gamma(z) - \frac1{z} \right\} = \lim_{z\to 0} \left\{\psi(z) + \frac1{z} \right\} = -\gamma</math>
<math>\lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Gamma(1+z)} - \frac1{\Gamma(1-z)} \right\} = 2\gamma</math>
<math>\lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\psi(1-z)} - \frac1{\psi(1+z)} \right\} = \frac{\pi^2}{3\gamma^2}</math>

Die Euler-Mascheroni-Konstante taucht oft in Entwicklungen spezieller Funktionen, z. B. bei der Reihenentwicklung des Integrallogarithmus von Leopold Schendel, der Besselfunktionen oder der Weierstraßschen Darstellung der Gammafunktion auf.

Liste bestimmter Integrale

Hier gibt es eine reichhaltige Fülle, zum Beispiel:

<math>\begin{align}

\gamma &= -\int_{0}^{1} \ln(-\ln x)\, \mathrm{d}x \\ \gamma &= -\int_{0}^{\infty} e^{-x}\ln x\, \mathrm{d}x \\ \gamma &= \int_{0}^{\infty} \left(\frac1{e^x-1} - \frac1{xe^x}\right) \,\mathrm{d}x\\ \gamma &= \int_{0}^{1} \left(\frac 1{\ln x} + \frac1{1-x}\right) \,\mathrm{d}x\\ \gamma &= \frac{1}{2} + \int_0^{\infty} \frac{2x}{(x^2+1)(e^{2\pi x} - 1)} \,\mathrm{d}x\\ \gamma &= \frac{\ln(2)}{2} + \frac{1}{\ln(2)} \int_0^{\infty} \frac{2\arctan(x) - x \ln(x^2 + 1)}{2(x^2 + 1) \sinh(\pi x)} \,\mathrm{d}x\\ \gamma &= \int_{0}^{\infty} \biggl[\exp(x)\mathrm{E}_{1}(x) - \frac{1}{x + 1}\biggr] \,\mathrm{d}x\\ \gamma &= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x}\biggl[\frac{1}{x + 1}-\exp(-x)\biggr] \,\mathrm{d}x\\ \gamma &= \int_{0}^{\infty} \frac{2}{x}\bigl[\exp(-x^2)-\exp(-x)\bigr] \,\mathrm{d}x\\ \gamma &= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2x}\bigl[\exp(x^2)\operatorname{erfc}(x) + 2\pi^{-1/2}x - 1\bigr]\bigl\{\vartheta_{00}\bigl[\exp(-x^2)\bigr] - 1\bigr\} \,\mathrm{d}x \end{align}</math>

Oder auch:

<math>\begin{align}

\int_0^\infty e^{-x} \ln^2 x\,\mathrm dx &= \frac{\pi^2}6 + \gamma^2 \\ \int_0^\infty e^{-x^2} \ln x\,\mathrm dx &= -\frac{\sqrt\pi}4 (\gamma + 2\ln 2) \end{align}</math>

Diese Integrale werden im Folgenden sukzessiv bewiesen.

Beweise der bestimmten Integrale

Beweisführung einer Zetafunktionssumme

Zu Beginn ist diese in der Einführung genannte Summe gegeben:

<math>

\gamma = \sum_{k=1}^{\infty}\biggl[ \frac{1}{k} - \ln\biggl(1 + \frac{1}{k}\biggr) \biggr] </math>

Als Nächstes wird folgende Identität bewiesen:

<math>\gamma = \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{\zeta(2n)}{2n} - \frac{\zeta(2n + 1)}{2n + 1}\biggr]</math>

Dieser Beweis kann direkt über die Definition der Riemannschen Zetafunktion zustande gebracht werden:

<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{\zeta(2n)}{2n} - \frac{\zeta(2n + 1)}{2n + 1}\biggr] = \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl(\frac{1}{2n} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2n}} - \frac{1}{2n+1} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2n+1}}\biggr) =</math>
<math>= \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{k = 1}^{\infty} \biggl[\frac{1}{2n\,k^{2n}} - \frac{1}{(2n+1)\,k^{2n+1}}\biggr] = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{1}{2n\,k^{2n}} - \frac{1}{(2n+1)\,k^{2n+1}}\biggr] =</math>
<math>= \sum_{k = 1}^{\infty} \biggl[\frac{1}{k} - \ln\biggl(1 + \frac{1}{k}\biggr)\biggr] = \gamma</math>

Der letzte Rechenschritt basiert auf der Ursprungsstammfunktion der alternierenden geometrischen Reihe:

<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \bigl(x^{2n - 1} - x^{2n}\bigr) = \frac{x}{1 + x}</math>
<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \biggl(\frac{x^{2n}}{2n} - \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\biggr) = x - \ln(1 + x)</math>

Durch Einsatz von <math>x = 1/k</math> in die nun genannte Formel entsteht das in der Gleichungskette gezeigte Endresultat.

Analog zur gezeigten Formel mit der Zetafunktion gilt für die Dirichletsche Etafunktion diese Formel:

<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{\eta(2n)}{2n} - \frac{\eta(2n + 1)}{2n + 1}\biggr] = \sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^{k + 1}\biggl[\frac{1}{k} - \ln\biggl(\frac{k + 1}{k}\biggr)\biggr] = \ln\bigl(\frac{4}{\pi}\bigr)</math>

Denn auf der rechten Seite in der alternierenden Differenz erscheint im Numerus des Logarithmus naturalis das Wallissche Produkt und der Minuend in dieser alternierenden Differenz ergibt die alternierende Differenz der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, die der Logarithmus naturalis von 2 ist.

Beweisführung des Exponentialintegrals

Das drittoberste Integral in der Auflistung kann so bewiesen werden:

<math> \int_0^{\infty} \frac{1}{\exp(x)-1} - \frac{1}{x\exp(x)} \,\mathrm{d}x = \int_0^{\infty} \frac{\exp(-x)+x-1}{x[\exp(x)-1]} \,\mathrm{d}x = \int_0^{\infty} \frac{1}{x[\exp(x)-1]} \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{x^{2n}}{(2n)!} - \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\biggr] \mathrm{d}x = </math>
<math> = \int_0^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl\{\frac{1}{\exp(x)-1} \biggl[\frac{x^{2n-1}}{(2n)!} - \frac{x^{2n}}{(2n+1)!}\biggr]\biggr\} \mathrm{d}x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_0^{\infty} \biggl\{\frac{1}{\exp(x)-1} \biggl[\frac{x^{2n-1}}{(2n)!} - \frac{x^{2n}}{(2n+1)!}\biggr]\biggr\} \mathrm{d}x = </math>
<math> = \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{1}{(2n)!}\int_0^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{\exp(x)-1}\,\mathrm{d}x - \frac{1}{(2n+1)!}\int_0^{\infty} \frac{x^{2n}}{\exp(x)-1}\,\mathrm{d}x\biggr] = \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{(2n-1)!\,\zeta(2n)}{(2n)!} - \frac{(2n)!\,\zeta(2n+1)}{(2n+1)!}\biggr] = </math>
<math>= \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{\zeta(2n)}{2n} - \frac{\zeta(2n + 1)}{2n + 1}\biggr] = \gamma </math>

Bei dem Integral in der dritten Zeile der jetzt gezeigten Gleichungskette handelt es sich um den Debyeschen Funktionswert von plus unendlich.

<math>\int_{0}^{\infty} \frac{x^m}{\exp(x)-1} \,\mathrm{d}x = m!\,\zeta(m+1)</math>

Beweisführung des Integrals über den Logarithmus

Das zweitoberste Integral in der Auflistung folgt aus dieser Ableitung:

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \biggl\{\ln[1-\exp(-x)] - \frac{\ln(x)}{\exp(x)}\biggr\} = \frac{1}{\exp(x)-1} - \frac{1}{x\exp(x)} + \frac{\ln(x)}{\exp(x)} </math>

Nach der Regel von de L’Hospital gelten folgende Grenzwerte:

<math>\lim_{x \rightarrow 0} \biggl\{\ln[1-\exp(-x)] - \frac{\ln(x)}{\exp(x)}\biggr\} = 0 </math>
<math>\lim_{x \rightarrow +\infty} \biggl\{\ln[1-\exp(-x)] - \frac{\ln(x)}{\exp(x)}\biggr\} = 0 </math>

Somit gilt dieses Integral:

<math>\int_0^{\infty} \frac{1}{\exp(x)-1} - \frac{1}{x\exp(x)} + \frac{\ln(x)}{\exp(x)} \mathrm{d}x = 0 </math>

Durch Äquivalenzumformung entsteht folgende Identität:

<math>-\int_0^\infty \frac{\ln(x)}{\exp(x)}\text{d}x = \int_0^{\infty} \frac{1}{\exp(x)-1} - \frac{1}{x\exp(x)} \mathrm{d}x = \gamma </math>

Das oberste und viertoberste Integral entstehen durch Substitution mit dem negativen natürlichen Logarithmus.

Beweisführung des Integrals über die Integralexponentialfunktion

Folgendes Integral<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:calculus – Some integral representations of the Euler–Mascheroni constant|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=calculus – Some integral representations of the Euler–Mascheroni constant}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://math.stackexchange.com/questions/980593/some-integral-representations-of-the-euler-mascheroni-constant%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=calculus – Some integral representations of the Euler–Mascheroni constant}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://math.stackexchange.com/questions/980593/some-integral-representations-of-the-euler-mascheroni-constant}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=calculus – Some integral representations of the Euler–Mascheroni constant}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:math.stackexchange.com{{#if: 2024-04-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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<math>\int_{0}^{\infty} \left[\exp(x)\,\mathrm{E}_{1}(x) - \frac{1}{x + 1}\right] \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \exp(-y)\left(\frac{1}{x + y} - \frac{1}{x + 1}\right) \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x = </math>
<math>= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \exp(-y)\left(\frac{1}{x + y} - \frac{1}{x + 1}\right) \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y = \int_{0}^{\infty} -\exp(-y)\ln(y) \,\mathrm{d}y = \gamma </math>

Der große Buchstabe E drückt die komplementäre Integralexponentialfunktion aus:

<math>\mathrm{E}_{1}(x) = \exp(-x)\int_{0}^{\infty} \frac{\exp(-xy)}{y+1} \,\mathrm{d}y </math>

Dann gilt auch:

<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \,\mathrm{E}_{1}(x) = -\,\frac{1}{x}\exp(-x) </math>

Verallgemeinert gilt somit für die Integration:

<math>\frac{\exp(-ax)}{bx + c} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \biggl\{-\frac{1}{b}\exp\bigl(\frac{ac}{b}\bigr)\,\mathrm{E}_{1}\bigl[\frac{a}{b}\bigl(bx + c\bigr)\bigr]\biggr\} </math>
<math>\int_0^{\infty} \frac{\exp(-ax)}{bx + c} \,\mathrm{d}x = \biggl\{-\frac{1}{b}\exp\bigl(\frac{ac}{b}\bigr)\,\mathrm{E}_{1}\bigl[\frac{a}{b}\bigl(bx + c\bigr)\bigr]\biggr\}_{x = 0}^{x = \infty} = \frac{1}{b}\exp\bigl(\frac{ac}{b}\bigr) \,\mathrm{E}_{1}\bigl(\frac{ac}{b}\bigr) </math>

Beweisführung des Integrals über den Kehrwert der Nachfolgerfunktion

Ebenso kann das anschließende Integral zur Mascheroni-Konstante über den Satz von Fubini bewiesen werden:

<math> \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x}\biggl[\frac{1}{x + 1}-\exp(-x)\biggr] \,\mathrm{d}x =\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \exp(-xy)\biggl[\frac{1}{x + 1}-\exp(-x)\biggr] \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x = </math>
<math> =\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \exp(-xy)\biggl[\frac{1}{x + 1}-\exp(-x)\biggr] \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y = \int_{0}^{\infty} \biggl[\exp(y)\,\mathrm{E}_{1}(y) - \frac{1}{y + 1}\biggr] \,\mathrm{d}y = \gamma </math>

Das fünftoberste und sechstoberste Integral resultiert aus der Abel-Plana-Summenformel und geht durch die Mellin-Transformation hervor.

Das zweitunterste Integral entsteht aus der Reihendarstellung der Integralexponentialfunktion Ei(x).

Und das unterste Integral entsteht direkt aus der genannten Reihe für die Euler-Mascheroni-Konstante über die Riemannsche Zetafunktion.

Beschreibung weiterer Integrale

Parameterintegrale

Es gibt auch viele invariante Parameterintegrale, zum Beispiel:

<math>\begin{align}

\gamma &= \int_0^\infty \left(\frac1{x^k+1} - e^{-x}\right)\frac{\mathrm{d}x}{x},\quad k>0\\ \gamma &= \int_0^\infty \left(\frac1{kx+1} - e^{-kx}\right)\frac{\mathrm{d}x}{x},\quad k>0 \end{align}</math> Beide Parameterintegrale sollen im nun Folgenden bewiesen werden:

Gegeben steht das im vorherigen Abschnitt bewiesene Integral:

<math> \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x}\biggl[\frac{1}{x + 1}-\exp(-x)\biggr] \,\mathrm{d}x = \gamma </math>

Und folgendes Zweiparameterintegral ergibt konstant für alle positiven Werte v und w den Wert 0:

<math> \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x}\biggl(\frac{1}{x^{v} + 1} - \frac{1}{x^{w} + 1}\biggr) \,\mathrm{d}x = 0 </math>

Wenn dieses Parameterintegral in das genannte schon bewiesene Integral eingepflanzt wird, dann entsteht direkt das erste der beiden genannten Parameterintegrale mit dem positiven k-Ausdruck. Und das genannte Zweiparameterintegral ist deswegen für alle positiven Werte v und w gültig, weil folgende Stammfunktion gilt:

<math> \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x}\biggl(\frac{1}{x^{v} + 1} - \frac{1}{x^{w} + 1}\biggr) \,\mathrm{d}x = \biggl[\frac{1}{v}\ln(x^v + 1) - \frac{1}{w}\ln(x^w + 1)\biggr]_{x = 0}^{x = \infty} = </math>
<math> = \biggl[\ln\bigl(\sqrt[v]{x^v + 1}\bigr) - \ln\bigl(\sqrt[w]{x^w + 1}\bigr)\biggr]_{x = 0}^{x = \infty} = 0 </math>

Das zweite mit dem k-Ausdruck dargestellte Parameterintegral kommt durch innere Substitution und durch die sogenannte Nachdifferenzierung nach der Kettenregel zustande.

Forschungsresultate des Mathematikers Sondow

Man kann <math>\gamma</math> auch als ein Doppelintegral (J. Sondow 2003,<ref>Jonathan Sondow: Criteria for irrationality of Euler’s constant, Proceedings of the American Mathematical Society 131, 2003, S. 3335–3344 (englisch).</ref> 2005<ref>Jonathan Sondow: Double integrals for Euler’s constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas’s formula, American Mathematical Monthly 112, 2005, S. 61–65 (englisch).</ref>) mit der äquivalenten Reihe ausdrücken:

<math> \gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-xy)\ln(xy)} \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} \right) </math>.

Es gibt einen interessanten Vergleich (J. Sondow 2005) des Doppelintegrals und der alternierenden Reihe:

<math> \ln \left( \frac{4}{\pi} \right) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+xy)\ln(xy)} \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left(\frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} \right) </math>

In diesem Sinne kann man sagen, dass <math>\ln \big(\tfrac{4}{\pi}\big)</math> die „alternierende Eulersche Konstante“ ist (Folge A094640 in OEIS).

Ein weiteres Doppelintegral handelt von der harmonischen Reihe als Funktion:

<math> \gamma = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1-x^{y}}{1-x} \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_0^1 H(y) \, \mathrm{d}y </math>

Außerdem sind diese zwei Konstanten mit dem Paar

<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) + N_0(n)}{2n(2n+1)} = \gamma,</math>
<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) - N_0(n)}{2n(2n+1)} = \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) </math>

von Reihen verknüpft, wobei <math>N_1(n)</math> und <math>N_0(n)</math> die Anzahl der Einsen bzw. der Nullen in der Binärentwicklung von <math>n</math> sind (Sondow 2010).<ref>Jonathan Sondow: New Vacca-type rational series for Euler’s constant and its „alternating“ analog ln 4/π. Additive Number Theory, Festschrift In Honor of the Sixtieth Birthday of Melvyn B. Nathanson, Springer, New York, 2010, S. 331–340 (englisch).</ref>

Produktreihen

Ferner gibt es eine ebenso reichhaltige Fülle an unendlichen Summen und Produkten, etwa

<math>\begin{align}

e^\gamma &= \lim_{n\to\infty} \frac 1{\ln n} \prod_{p\le n, p\text{ prim}} \left( 1-\frac 1p \right)^{-1} \\ \frac{6}{\pi^2}e^\gamma &= \lim_{n\to\infty} \frac 1{\ln n} \prod_{p\le n, p\text{ prim}} \left( 1+\frac 1p \right) \\ \gamma &= \lim_{x\to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac 1{n^x} -\frac 1{x^n} \right). \end{align}</math> Diese Reihen bilden somit zu den Eulerschen Produktdarstellungen von der Riemannschen Zetafunktion eine Abwandlung.

Kummersche Reihen

Reihen mit rationalen Termen stammen von Euler, Fontana and Mascheroni, S. Ramanujan und Joseph Ser. An Reihen mit irrationalen Gliedern gibt es unzählige Variationen, deren Glieder aus rational gewichteten Werten der riemannschen Zeta-Funktion an den ungeraden Argumentstellen ζ(3), ζ(5), … bestehen. Ein Beispiel einer besonders schnell konvergierenden Reihe ist:

<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\zeta(2n+1)-1}{(2n+1)2^{2n}} = 1 + \ln 2 - \ln 3 - \gamma =</math> 0,0173192269903…

Eine weitere Reihe ergibt sich aus der Kummerschen Reihe der Gammafunktion:

<math>\gamma = \ln\pi - 4\ln\Gamma\big(\tfrac34\big) + \frac4{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\ln(2k+1)}{2k+1}</math>

Darstellung mittels alternierender Reihen

Neben der obigen kummerschen Reihe existieren weitere Darstellungen von <math>\gamma</math> mittels alternierender Reihen.

Hier ist vor allem eine von dem italienischen Mathematiker Giovanni Enrico Eugenio Vacca gefundene Darstellung zu nennen, die auch als Formel von Vacca bekannt ist und von Vacca im Jahre 1910 publiziert wurde:<ref name="SRF-01">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="GV-01">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math> \gamma = \sum_{k=1}^\infty \frac{ (-1)^k }{k} \cdot \left\lfloor \frac{\ln k}{\ln 2} \right\rfloor </math><ref>Hier ist <math> x \mapsto \lfloor x \rfloor</math> die Abrundungsfunktion.</ref>

Ebenfalls in diesem Zusammenhang erwähnenswert ist eine sehr ähnliche Formel, die von dem norwegischen Mathematiker Viggo Brun im Jahre 1938 veröffentlicht wurde:<ref name="VB-01"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math> \gamma

= \sum_{k=1}^\infty \frac{ (-1)^k }{k} \cdot \left( -1 + \left\lceil \frac{\ln k}{\ln 2} \right\rceil \right) </math><ref>Hier ist <math> x \mapsto \lceil x \rceil</math> die Aufrundungsfunktion.</ref>

Bezeichnungen

Man kann sagen, dass die Eulersche Konstante diejenige Konstante mit den meisten Bezeichnungen ist. Euler selbst bezeichnete sie mit C und gelegentlich mit O oder n. Es ist jedoch zweifelhaft, ob er damit ein eigenständiges Symbol für seine Konstante einführen wollte. Mascheroni bezeichnete die Konstante nicht – wie oft behauptet – mit γ, sondern mit A. Das γ-Missverständnis rührt von dem häufig unüberprüft zitierten Artikel von J. W. L. Glaisher her (wobei Glaisher dort ausdrücklich anmerkt, dass er Mascheronis Buch nicht gesehen hat):

{{#ifeq: {{{vor}}}@@-@@{{{nach}}} | -@@-@@- | {{#if:trim|Euler’s constant (which throughout this note will be called γ after Mascheroni, De Morgan, &c.) […]
It is clearly convenient that the constant should generally be denoted by the same letter. Euler used C and O for it; Legendre, Lindman, &c., C; De Haan A; and Mascheroni, De Morgan, Boole, &c., have written it γ, which is clearly the most suitable, if it is to have a distinctive letter assigned to it. It has sometimes (as in Crelle, t. 57, p. 128) been quoted as Mascheroni’s constant, but it is evident that Euler’s labours have abundantly justified his claim to its being named after him.}} | {{#ifeq: {{#if:|{{{vor}}}|@#@}}{{#if:|{{{nach}}}|@#@}} | @#@@#@ | {{#ifeq: en | de | „{{#if:trim|Euler’s constant (which throughout this note will be called γ after Mascheroni, De Morgan, &c.) […]
It is clearly convenient that the constant should generally be denoted by the same letter. Euler used C and O for it; Legendre, Lindman, &c., C; De Haan A; and Mascheroni, De Morgan, Boole, &c., have written it γ, which is clearly the most suitable, if it is to have a distinctive letter assigned to it. It has sometimes (as in Crelle, t. 57, p. 128) been quoted as Mascheroni’s constant, but it is evident that Euler’s labours have abundantly justified his claim to its being named after him.}}“ | {{#invoke:Text|quoteUnquoted| Euler’s constant (which throughout this note will be called γ after Mascheroni, De Morgan, &c.) […]
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   It is clearly convenient that the constant should generally
 be denoted by the same letter. Euler used C and O for it;
 Legendre, Lindman, &c., C; De Haan A; and Mascheroni,
 De Morgan, Boole, &c., have written it γ, which is clearly
 the most suitable, if it is to have a distinctive letter assigned
 to it. It has sometimes (as in Crelle, t. 57, p. 128) been
 quoted as Mascheroni’s constant, but it is evident that Euler’s
 labours have abundantly justified his claim to its being named
 after him. | {{
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 De Morgan, Boole, &c., have written it γ, which is clearly
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}} Andere Mathematiker verwenden die Bezeichnungen C, c, ℭ, H, γ, E, K, M, l. Der Ursprung der heute üblichen Bezeichnung γ ist nicht sicher. Carl Anton Bretschneider verwendete die Bezeichnung γ neben c in einem 1835 entstandenen und 1837 veröffentlichten Artikel,<ref>Car. Ant. Bretschneider: Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (13. Oktober 1835). Journal für die reine und angewandte Mathematik 17, 1837, S. 257–285. (lateinisch; „γ = c = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3…“ auf S. 260).</ref> Augustus De Morgan führte die Bezeichnung γ in einem in Teilen von 1836 bis 1842 veröffentlichten Lehrbuch im Rahmen der Behandlung der Gammafunktion ein.<ref>Augustus De Morgan: The differential and integral calculus, Baldwin and Craddock, London 1836–1842 (englisch; „γ“ auf S. 578).</ref>

Verallgemeinerungen

Stieltjes-Konstanten

Die Eulersche Konstante kennt mehrere Verallgemeinerungen. Die wichtigste und bekannteste ist die der Stieltjes-Konstanten:

<math>
   \gamma_n := \lim_{m\to\infty} \left(\sum_{k=1}^m\frac{\ln^n \left(k\right)}{k} - \frac{\ln^{n+1}\left(m\right)}{n+1}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dotsc
 </math>

Die Euler-Mascheroni-Konstante <math>\gamma = \gamma_0</math> ergibt sich für <math>n = 0</math>:

<math>
   \gamma := \lim_{m\to\infty} \left(\sum_{k=1}^m\frac{1}{k} - {\ln \left(m\right)}\right)
 </math>

Fakultät und Gammafunktion

Gegeben war diese Summendefinition für die Euler-Mascheroni-Konstante:

<math>

\gamma = \sum_{n=1}^{\infty}\biggl[ \frac{1}{n} - \ln\biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr) \biggr] </math> Verallgemeinert gelten diese beiden zueinander identischen Ausdrücke:

<math>\gamma \,x + \ln\bigl[\Pi(x)\bigr]= \sum_{n=1}^{\infty}\biggl[ \frac{x}{n} - \ln\biggl(1 + \frac{x}{n}\biggr) \biggr]

</math>

<math> \gamma \,x + \ln\bigl[\Gamma(x + 1)\bigr]= \sum_{n=1}^{\infty}\biggl[ \frac{x}{n} - \ln\biggl(1 + \frac{x}{n}\biggr) \biggr] </math>

Beispielsweise gilt:

<math>\frac{\gamma}{2} - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{4}{\pi}\right) = \frac{\gamma}{2} + \ln\left[\Pi\left(\frac{1}{2}\right)\right] = \sum_{n=1}^{\infty}\biggl[ \frac{1}{2n} - \ln\biggl(1 + \frac{1}{2n}\biggr) \biggr]

</math> Die im Kästchen genannten Verallgemeinerungsformeln gehen direkt aus der Weierstraßschen Definition der harmonischen Reihenfunktion hervor:

<math> \mathrm{H}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + x}\right)</math>

Denn durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entstehen die beiden Formeln im Kästchen.

Folgende Ableitungsgesetze sind gültig:

<math> \mathrm{H}(x) = \gamma + \frac{1}{\Pi(x)}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,\Pi(x)</math>
<math> \mathrm{H}(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl\{\gamma \,x + \ln\bigl[\Pi(x)\bigr]\bigr\}</math>
<math> \mathrm{H}(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl\{\gamma \,x + \ln\bigl[\Gamma(x + 1)\bigr]\bigr\}</math>

Die kontinuierliche Fakultätsfunktion ist gleich der Gaußschen Pifunktion.

Und die Gaußsche Pifunktion ergibt sich als Gammafunktion aus der Nachfolgerfunktion.

So lautet die Produktreihendefinition nach Weierstraß für diese berühmte Funktion:

<math>x! = \Pi(x) = \Gamma(x + 1) = \exp(-\,\gamma\,x) \prod_{n = 1}^{\infty} \left[\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{-1} \exp\left(\frac{x}{n}\right)\right]</math>

Aus den genannten Verallgemeinerungsformeln folgt auch:

<math>\sum_{m = 1}^{\infty} \biggl[\frac{\zeta(2m)}{2m} \,x^{2m} - \frac{\zeta(2m + 1)}{2m + 1} \,x^{2m + 1}\biggr] = \gamma \,x + \ln\bigl[\Pi(x)\bigr] </math>

Beispielsweise gilt:

<math>\sum_{m = 1}^{\infty} \biggl[\frac{\zeta(2m)}{2m \,2^{2m}} - \frac{\zeta(2m + 1)}{(2m + 1)\,2^{2m + 1}}\biggr] = \frac{\gamma}{2} - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{4}{\pi}\right) </math>

Und aus diesen Summen folgt nach dem ebenso:

<math> \int_0^{\infty} \frac{\exp(-xy)+xy-1}{y\,\bigl[\exp(y)-1\bigr]} \,\mathrm{d}y = \gamma \,x + \ln\left[\Pi(x)\right] </math>

Beispielsweise gilt:

<math> \int_0^{\infty} \frac{\exp(-y/2)+y/2-1}{y\,\bigl[\exp(y)-1\bigr]} \,\mathrm{d}y = \frac{\gamma}{2} - \frac{1}{2} \ln\left(\frac{4}{\pi}\right) </math>

Anzahl berechneter Dezimalstellen

1734 berechnete Leonhard Euler sechs Dezimalstellen (fünf gültige), später 16 Stellen (15 gültige). 1790 berechnete Lorenzo Mascheroni 32 Dezimalstellen (30 gültige), wovon jedoch die drei Stellen 20 bis 22 falsch sind – anscheinend aufgrund eines Schreibfehlers, sie sind allerdings mehrfach im Buch angegeben. Der Fehler war Anlass für mehrere Neuberechnungen.

Anzahl veröffentlichter gültiger Dezimalstellen von <math>\gamma</math>
Jahr Stellen Autor Jahr/Datum Stellen Autor
1734 5 Leonhard Euler<ref>Leonh. Eulero: De progressionibus harmonicis observationes (11. März 1734), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 7, 1740, S. 150–161 (lateinisch; „C = 0,577218“ auf S. 157).</ref> 1976 20.700 Richard P. Brent<ref>Richard P. Brent: Computation of the regular continued fraction for Euler’s constant (27. September 1976), Mathematics of Computation 31, 1977, S. 771–777 (englisch).</ref>
1735 15 Leonhard Euler<ref>Leonh. Eulero: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13. Oktober 1735), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „constans illa addita = 0,5772156649015329“ auf S. 19).</ref> 1979 30.100 Richard P. Brent & Edwin M. McMillan<ref>Richard P. Brent, Edwin M. McMillan: Some new algorithms for high-precision computation of Euler’s constant (22. Januar/15. Mai 1979), Mathematics of Computation 34, 1980, S. 305–312 (englisch).</ref>
1790 19 Lorenzo Mascheroni<ref>Laurentio Mascheronio: Adnotationes ad calculum integralem Euleri / In quibus nonnulla Problemata ab Eulero proposita resolvuntur. Petrus Galeatius, Ticini 1790–1792 (lateinisch; „A = 0,577215 664901 532860 618112 090082 39“ auf S. 23 und S. 45).</ref> 1993 172.000 Jonathan Borwein
1809 22 Johann Georg Soldner<ref>J. Soldner: Théorie et tables d’une nouvelle fonction transcendante, Lindauer, München 1809 (französisch; „H = 0,5772156649015328606065“ auf S. 13).</ref> 1997 1.000.000 Thomas Papanikolaou
1811 22 Carl Friedrich Gauß<ref name="gauss1812">Carolus Fridericus Gauss: Disquisitiones generales circa seriem infinitam Pars I (30. Januar 1812), Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 2 (classis mathematicae), 1813, S. 3–46 (lateinisch; „ψ0 = −0,5772156649 0153286060 653“ und „ψ0 = −0,5772156649 0153286060 6512090082 4024310421“ auf S. 36; auch in Gauß: Werke. Band 3, S. 154).</ref> 1998 7.286.255 Xavier Gourdon
1812 40 Friedrich Bernhard Gottfried Nicolai<ref name="gauss1812" /> 1999 108.000.000 Xavier Gourdon & Patrick Demichel
1826 19 Adrien-Marie Legendre<ref>A. M. Legendre: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes (Band 2), Huzard-Courcier, Paris 1826, S. 434 (französisch).</ref> 8. Dez. 2006 116.580.041 Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Alexander Jih-Hing Yee|Alexander Jih-Hing Yee: }}{{#if:|{{#if:Euler-Mascheroni Constant – 116 million digits on a laptop|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Euler-Mascheroni Constant – 116 million digits on a laptop}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:http://www.numberworld.org/euler116m.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Euler-Mascheroni Constant – 116 million digits on a laptop}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://www.numberworld.org/euler116m.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Euler-Mascheroni Constant – 116 million digits on a laptop}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:numberworld.org{{#if: 2020-03-20 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}} 1}}}} ) de 1}}}}| ; {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:http://www.numberworld.org/euler116m.html%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=http://www.numberworld.org/euler116m.html}} }}}}{{#if:Euler-Mascheroni Constant – 116 million digits on a laptop|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Euler-Mascheroni Constant – 116 million digits on a laptop|lines=0}} }}}}{{#if: numberworld.org| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=numberworld.org}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: |,|{{#if: 2020-03-20 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|noerror=1}} format|{{{datum}}}|T._Monat JJJJ}} failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum={{{datum}}}|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2020-03-20 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2020-03-20 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:92548 ;}}}}{{#if: 2020-03-20| {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2020-03-20 |ISO|noerror=1}} }} 4=im Jahr 7=im 10=am failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2020-03-20|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2020-03-20|T._Monat JJJJ}} failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de 1}}}}|{{#if:numberworld.org{{#if: 2020-03-20 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}} 1}}}} ( | (}} 
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1857 34 Christian Fredrik Lindman<ref>Christiano Fr. Lindman: De vero valore constantis, quae in logarithmo integrali occurit, Archiv der Mathematik und Physik 29, 1857, S. 238–240 (lateinisch).</ref> 18. Jan. 2009 14.922.244.771 Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name="Numberworld">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Alexander Yee|Alexander Yee: }}{{#if:|{{#if:Records set by y-cruncher|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Records set by y-cruncher}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Records set by y-cruncher}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Records set by y-cruncher}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:numberworld.org{{#if: 2024-04-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}} 1}}}} ) de 1}}}}| ; {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html}} }}}}{{#if:Records set by y-cruncher|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Records set by y-cruncher|lines=0}} }}}}{{#if: numberworld.org| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=numberworld.org}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: |,|{{#if: 2024-04-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|noerror=1}} format|{{{datum}}}|T._Monat JJJJ}} failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum={{{datum}}}|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2024-04-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2024-04-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:92548 ;}}}}{{#if: 2024-04-07| {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2024-04-07 |ISO|noerror=1}} }} 4=im Jahr 7=im 10=am failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2024-04-07|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2024-04-07|T._Monat JJJJ}} failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de 1}}}}|{{#if:numberworld.org{{#if: 2024-04-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}} 1}}}} ( | (}} 
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Siehe auch

Literatur

Weblinks

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  • Folge A053977 in OEIS (Engel-Entwicklung von γ)
  • Folge A006284 in OEIS (Pierce-Entwicklung von γ)
  • Xavier Gourdon, Pascal Sebah: The Euler constant: γ auf Numbers, constants and computation, 14. April 2004 (englisch)

Einzelnachweise

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