Euler-Produkt

Das Euler-Produkt ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis und insbesondere der Zahlentheorie. Es ist eine Darstellung einer Dirichlet-Reihe mittels eines unendlichen Produktes indiziert über die Menge der Primzahlen. Benannt ist das Euler-Produkt nach Leonhard Euler, der das unendliche Produkt bezüglich der Dirichlet-Reihe der Riemannschen Zeta-Funktion untersuchte.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Definition

Sei <math>f</math> eine multiplikative zahlentheoretische Funktion und <math>\textstyle F(s) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^s}</math> die entsprechende Dirichlet-Reihe von <math>f</math>. Falls diese Reihe für eine komplexe Zahl <math>s</math> absolut konvergiert, dann gilt

<math>F(s)=\prod_{p\ {\rm prim}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(p^k)}{p^{ks}}</math>.

Im Falle einer vollständig multiplikativen Funktion <math>f</math> vereinfacht sich dieses Produkt zu

<math>F(s)=\prod_{p\ \operatorname{prim}} \frac{1}{1-f(p)p^{-s}}</math>.

Diese unendlichen Produkte über alle Primzahlen heißen Euler-Produkte.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Der Wert dieser Produkte ist definiert als Grenzwert <math>\textstyle \lim_{N\to\infty} P_N </math> der Folge endlicher Produkte <math>P_N</math>, die entsteht, indem man das Produkt nur auf Primzahlen unterhalb einer Schranke N erstreckt.

Beweis

Es gibt mehrere Beweise für die Gültigkeit des Euler-Produktes.

Zunächst ist klar, dass mit absoluter Konvergenz der Reihe <math> F(s) </math> auch jeder Faktor <math>\textstyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(p^k)}{p^{ks}} </math> absolut konvergiert. Es folgt, dass für jedes <math> N </math> das Partialprodukt

<math> F_N(s)=\prod_{{p \leq N \atop p \ \text{Primzahl}}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(p^k)}{p^{ks}} </math>

existiert. Damit sieht man sogleich mit der Cauchy-Produktformel und der aufsteigenden Folge der Primzahlen <math> 2 = p_1 < p_2 < \cdots < p_j \leq N < p_{j+1}</math>:

<math> F_N(s) = \sum_{k_1=0}^\infty \cdots \sum_{k_j=0}^\infty \frac{f(p_1^{k_1}) \cdots f(p_j^{k_j})}{(p_1^{k_1} \cdots p_j^{k_j})^s} = \sum_{k_1=0}^\infty \cdots \sum_{k_j=0}^\infty \frac{f(p_1^{k_1} \cdots p_j^{k_j})}{(p_1^{k_1} \cdots p_j^{k_j})^s}.</math>

Im zweiten Schritt wurde die Multiplikativität von <math> f </math> benutzt. Damit folgt

wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle <math> n > N </math> summiert wird, deren Primteiler sämtlich <math> \leq N </math> sind. Damit folgt: für jedes <math> \varepsilon > 0</math> existiert ein <math> N > 0</math> mit

<math> |F(s) - F_N(s)| \leq \sum_{n=N+1}^\infty \left| \frac{f(n)}{n^s} \right| < \varepsilon. </math>

Somit konvergiert die Folge der Partialprodukte <math> F_N(s) </math> für jedes <math> s </math> im Bereich der absoluten Konvergenz gegen <math> F(s) </math> (sogar gleichmäßig auf kompakten Teilmengen) und der Satz ist gezeigt.

Das Euler-Produkt der Riemannschen Zeta-Funktion

Formulierung

Im Fall <math> f(n) = 1 </math> für alle <math> n \in \N </math> ist <math> f </math> offenbar vollständig multiplikativ. Es gilt demnach für alle <math> \operatorname{Re}(s) > 1 </math>

<math> \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{1-\frac{1}{p^{s}}}.</math>

Die Funktion <math> \zeta(s) </math> ist dabei auch bekannt als Riemannsche Zeta-Funktion.

Herleitung von Euler

Die Idee dieses Herleitungsweges wurde bereits von Euler verwendet. Man nehme eine Teilmenge <math> M \subset \N </math> und eine Primzahl <math> p </math>, so dass <math> 1 \in M </math> und <math> pM \subset M </math>. Ist also <math> m \in M</math>, so folgt ebenfalls <math> pm \in M </math>. Dann gilt ganz allgemein für <math> \operatorname{Re}(s) > 1 </math>

<math> \left( 1 - \frac{1}{p^s}\right) \sum_{m \in M} \frac{1}{m^s} = \sum_{m \in M} \frac{1}{m^s} - \sum_{m \in M} \frac{1}{(pm)^s} = \sum_{m \in M \setminus pM} \frac{1}{m^s}. </math>

Bezeichnen wir jetzt <math> p_n </math> als die Folge der Primzahlen in aufsteigender Folge, und <math> M_k</math> als die Menge der Zahlen, die nicht durch <math> p_1, \dots, p_k </math> teilbar sind (z. B. <math> M_1 = \{1, 3, 5, 7, \dots\} </math>). Setze zudem <math> M_0 := \N</math>. Dann hat jedes <math> M_k </math> die obere Eigenschaft mit der nächsten Primzahl <math> p_{k+1}</math> und es gilt <math> M_{k+1} = M_k \setminus p_{k+1}M_k</math>. Also:

<math> \left( 1 - \frac{1}{p_{k+1}^s}\right) \sum_{m \in M_k} \frac{1}{m^s} = \sum_{m \in M_{k+1}} \frac{1}{m^s} </math>

und damit induktiv

<math> \left( 1 - \frac{1}{2^s}\right) \left( 1 - \frac{1}{3^s}\right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{p_k^s}\right) \zeta(s) = \sum_{m \in M_{k+1}} \frac{1}{m^s}. </math>

Bildet man auf beiden Seiten den Limes, ergibt sich

<math> \lim_{k \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{2^s}\right) \left( 1 - \frac{1}{3^s}\right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{p_k^s}\right) \zeta(s) = \lim_{k \to \infty} \sum_{m \in M_{k+1}} \frac{1}{m^s} = 1,</math>

da die 1 die einzige natürliche Zahl ist, die durch keine Primzahl teilbar ist.

Weblinks

{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Euler Product. In: MathWorld (englisch). {{#if: EulerProduct | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | EulerProduct | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
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Einzelnachweise