Integralexponentialfunktion

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Darstellung der Funktion <math>\operatorname{E_1}(x)</math>

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Darstellung der Funktion <math>\operatorname{Ei}(x)</math>

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Darstellung der Funktion <math>\operatorname{li}(x)</math>

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Darstellung der Funktion <math>\operatorname{Ein}(x)</math>

In der Mathematik ist die Integralexponentialfunktion beziehungsweise das Exponentialintegral eine nicht-elementare infinitesimalanalytische Funktion. Die Ableitung der Integralexponentialfunktion ist die kardinalische Exponentialkehrwertfunktion und somit elementar darstellbar. Das Exponentialintegral beschreibt die Stammfunktionen von Produkten aus Exponentialfunktionen und gebrochen rationalen Funktionen sowie die Stammfunktionen aus den Kehrwerten einiger Logarithmusfunktionen.

Definition

Das Exponentialintegral <math>\operatorname{Ei}(x)</math> ist über folgende Formel definiert:<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:W. P. Reinhardt, P. L. Walker|W. P. Reinhardt, P. L. Walker: }}{{#if:|{{#if:Exponential, Logarithmic, Sine and Cosine Integrals. Properties. Definitions and Interrelations|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Exponential, Logarithmic, Sine and Cosine Integrals. Properties. Definitions and Interrelations}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://dlmf.nist.gov/6.2%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Exponential, Logarithmic, Sine and Cosine Integrals. Properties. Definitions and Interrelations}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://dlmf.nist.gov/6.2}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Exponential, Logarithmic, Sine and Cosine Integrals. Properties. Definitions and Interrelations}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:dlmf.nist.govDigital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology{{#if: 2025-12-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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<math>\operatorname{Ei}(x) = \int_{-\infty}^x \frac{e^t}t\,\mathrm dt = -\int^\infty_{-x} \frac{e^{-t}}t\,\mathrm dt</math>

Da <math>\tfrac 1t</math> bei <math>t=0</math> divergiert, ist das obige Integral für <math>x>0</math> als cauchyscher Hauptwert zu verstehen.

Die Integralexponentialfunktion hat die Reihendarstellung<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:W. P. Reinhardt, P. L. Walker|W. P. Reinhardt, P. L. Walker: }}{{#if:|{{#if:Exponential, Logarithmic, Sine and Cosine Integrals. Properties. Power Series|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Exponential, Logarithmic, Sine and Cosine Integrals. Properties. Power Series}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://dlmf.nist.gov/6.6%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Exponential, Logarithmic, Sine and Cosine Integrals. Properties. Power Series}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://dlmf.nist.gov/6.6}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Exponential, Logarithmic, Sine and Cosine Integrals. Properties. Power Series}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:dlmf.nist.govDigital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology{{#if: 2025-12-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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<math>\operatorname{Ei}(x) = \gamma + \ln \left|x\right| + \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k! \cdot k}\ ,</math>

wobei <math>\ln</math> der natürliche Logarithmus und <math>\gamma</math> die Euler-Mascheroni-Konstante ist.

Die Integralexponentialfunktion ist eng mit dem Integrallogarithmus <math>\operatorname{li}(x)</math> verwandt, es gilt

<math>\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\quad 0 < x \neq 1.</math>

Abgewandelte Integralexponentialfunktionen

Ebenfalls eng verwandt ist eine Funktion, die über einen anderen Integrationsbereich integriert:

<math>\operatorname{E}_{1}(x) = \exp(-x)\int_{0}^{\infty} \frac{\exp(-tx)}{t+1} \,\mathrm{d}t = \int_1^\infty \frac{e^{-tx}}t\,\mathrm dt = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}t\,\mathrm dt</math>

Diese Funktion kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden, da

<math>\operatorname{Ei}(-x) = -\operatorname E_1(x).</math>

Die Funktion <math>\operatorname{Ein}(x)</math> ist eine ganze Funktion und ist mit dem standardisierten Exponentialintegral sehr eng verwandt:

<math>\operatorname{Ein}(x) = \int_{0}^{1} \frac{1}{t}\bigl[1 - \exp(-tx)\bigr] \,\mathrm{d}t = \int_0^x\frac{1-e^{-t}}t\,\mathrm dt</math>

<math>\operatorname{Ein}(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!(2n - 1)} - \frac{x^{2n}}{(2n)!(2n)}\biggr] = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k!k}</math>

Zwischen der soeben genannten ganzen Funktion und den vorher genannten Exponentialintegralausdrücken gelten diese Beziehungen:

<math>\operatorname{Ei}(x) = \gamma+\ln |x| - \operatorname{Ein}(-x)</math>

<math>\operatorname E_1(x) = -\gamma-\ln |x| + \operatorname{Ein}(x)</math>

Die Integralexponentialfunktion ist ein Spezialfall der unvollständigen Gammafunktion:

<math>E_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x).</math>

Sie kann auch mit der nun folgenden Ausdrucksform verallgemeinert werden:

<math>E_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n}\,\mathrm dt \quad \Re (x)>0</math>

Integralhyperbelfunktionen

Durch arithmetische Mittelungen aus den Exponentialintegralausdrücken werden die Integralhyperbelfunktionen <math>\operatorname{Shi}(x)</math> und <math>\operatorname{Chi}(x)</math> gebildet:

<math>\operatorname{Shi}(x) = \frac{1}{2}\operatorname{Ein}(x) - \frac{1}{2}\operatorname{Ein}(-x) </math>

<math>\operatorname{Chi}(x) = \frac{1}{2}\operatorname{Ei}(x) + \frac{1}{2}\operatorname{Ei}(-x) </math>

<math>\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln|x| - \frac{1}{2}\operatorname{Ein}(x) - \frac{1}{2}\operatorname{Ein}(-x) </math>

So lauten ihre Integraldefinitionen:

<math>\operatorname{Shi}(x) = \int_{0}^{1} \frac {\sinh(tx)}{t} \,\mathrm{d}t = \int_{0}^{x} \frac {\sinh(t)}{t} \,\mathrm{d}t</math>

<math>\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln|x| + \int_0^1\frac{\cosh(tx)-1}{t} \,\mathrm{d}t =</math>

<math>= \gamma + \ln|x| + \int_0^x\frac{\cosh(t)-1}{t} \,\mathrm{d}t</math>

Literatur

• William H. Press et al.: Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York 1989.
• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (Hrsg.): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover, New York 1972. (Siehe Kapitel 5).
• R. D. Misra: Proc. Cambridge Phil. Soc. Band 36, 1940, S. 173 (Bitte überprüfen! Nach JFM zweifelhaft, befremdlicher Titel: On the stability of crystal lattices. II, S. 173–182)

Weblinks

• {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Exponential Integral. In: MathWorld (englisch). {{#if: ExponentialIntegral | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | ExponentialIntegral | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
• {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: En-Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: En-Function | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | En-Function | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
• Maxim Lwowitsch Konzewitsch: Exponential Integral. Vorlesungsreihe (englisch), 2015.

Einzelnachweise

<references />