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Meissel-Mertens-Konstante

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Die Meissel-Mertens-Konstante (nach Ernst Meissel und Franz Mertens) ist eine mathematische Konstante. Ähnlich wie die Summe der reziproken natürlichen Zahlen <math>\sum_{k=1}^n\frac1{k}</math> (harmonischen Reihe) wächst auch die Summe der reziproken Primzahlen <math>\sum_{p\in \mathbb{P}}^n \frac{1}{p}</math> unbeschränkt (hierbei beschreibt <math>\mathbb P</math> die Menge aller Primzahlen). D. h. beide Summen werden für zunehmende Gliederzahl n beliebig groß. Das genaue asymptotische Wachstum wird durch die beiden Grenzwerte beschrieben:

<math>\gamma = \lim_{n \to \infty} \left(\sum_{k=1}^n\frac1{k} - \ln n\right),\qquad
          M := \lim_{n \to \infty} \left(\sum_{{p \in \mathbb{P}} \atop {p \leq n}} \frac{1}{p}  - \ln(\ln n) \right)

</math> Hierbei ist <math>\gamma</math> die Euler-Mascheroni-Konstante und <math>M</math> die Meissel-Mertens-Konstante. Die Summe aller reziproken Primzahlen zwischen 2 und n wächst also asymptotisch so wie der verschachtelte Logarithmus <math>\ln(\ln n)\ </math>. Sie tritt hauptsächlich in der Zahlentheorie und Funktionentheorie auf. Es bestehen zahlreiche Zusammenhänge mit anderen mathematischen Konstanten und Reihen. Beispielsweise:

<math> M = \gamma + \sum_{p\in\mathbb P} \left[ \ln \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right] </math>
<math> M = \gamma + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{\mu(k)}{k} \ln\bigg(\zeta(k)\bigg) </math>

Hierbei ist <math>\mu(n)</math> die Möbiusfunktion und <math>\zeta(n)</math> die Riemannsche Zetafunktion. Der numerische Wert der Meissel-Mertens-Konstante ist

<math>M = 0{,}26149\;72128\;47642\;78375\;54268\;38608\;69585\;90515\;66648\;26119\ldots</math> (Folge A077761 in OEIS)

Literatur

Weblinks

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