Alternierende Reihe

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Alternierende Reihen ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=la |SCRIPTING=Latn |SERVICE=lateinisch}}) sind unendliche Reihen und gehören als solche in das mathematische Teilgebiet der Analysis.

Definition

Eine alternierende Reihe ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}}) ist eine unendliche Reihe, für die die Glieder der zugehörigen Folge aus reellen Zahlen besteht, die abwechselndes Vorzeichen haben.

Es handelt sich also um eine Reihe, die in der Form

<math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k</math> oder <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^k a_k</math>

dargestellt werden kann, wobei die <math>a_k \geq 0</math> sind. Oft wird zusätzlich gefordert, dass die Folge <math>(a_k)_{k\in \N_0}</math> bzw. <math>(a_k)_{k\in \N}</math>monoton fallend sein soll.<ref name="MB-FF-001">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="CC-AT-001">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="RC-001">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="GMF-001">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="OF-001">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="HG-IL-001">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Darstellung von Konstanten mittels alternierender Reihen

Viele Konstanten in der Analysis haben aussagekräftige Reihendarstellungen und gewinnen ihr Interesse nicht zuletzt aus Darstellungen mittels alternierender Reihen. Hier gibt es einige herausragende Beispiele – wie etwa:

Zum natürlichen Logarithmus von 2

Hier tritt eines der immer wieder genannten Standardbeispiele für alternierende Reihen auf, nämlich die alternierende harmonische Reihe

<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} +- \ldots = \ln 2</math>,

die im Gegensatz zur (divergenten!) harmonische Reihe nach dem Leibniz-Kriterium<ref group="A">Dieses Kriterium ist nach Gottfried Wilhelm Leibniz benannt. G. M. Fichtenholz bezeichnet in seiner Differential- und Integralrechnung II – vgl. dort Fußnote auf S. 315! – eine alternierende Reihe, die den Bedingungen des leibnizschen Kriteriums genügt, als Reihe vom leibnizschen Typ.</ref> konvergiert.<ref name="BSMM-001">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="CC-AT-001" /><ref name="RC-001" /><ref name="GMF-002">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="OF-001" />

Zur Eulerschen Zahl

Ein anderes gängiges Beispiel ist die alternierende Reihe für den Kehrwert der Eulerschen Zahl. Man hat nämlich:<ref name="MB-FF-001" /><ref name="BSMM-001" />

<math>\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} +- \ldots = \frac{1}{e}</math>.

Zur Kreiszahl

Ein weiteres Standardbeispiel ist auch die Leibnizsche Reihe, welche eine Reihenentwicklung der Kreiszahl beinhaltet:<ref name="MB-FF-001" /><ref name="BSMM-001" /><ref name="OF-001" />

<math>\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} +- \ldots = \frac{\pi}{4}</math>.

Zur Kreiszahl gibt es eine ganze Anzahl weiterer alternierender Reihen wie etwa

<math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} +- \ldots = \frac{{\pi}^2}{12}</math><ref name="BSMM-001" />

und

<math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)^3} = 1 - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \frac{1}{9^3} +- \ldots = \frac{{\pi}^3}{32}</math>.<ref name="SRF-001">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

und

<math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^4} = 1 - \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} - \frac{1}{4^4} + \frac{1}{5^4} +- \ldots = \frac{{7 \cdot \pi}^4}{720}</math><ref name="BSMM-001" />

Zur Wurzel von 2

Zwei Beispiele gibt es zur Wurzel der natürlichen Zahl <math>2</math>, die sich aus der Binomialreihe ergeben, nämlich:

<math>\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{ \binom{2k}{k} }{2^{2k} (2k-1)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6} +- \ldots = \sqrt{2} - 1</math>

und

<math>\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{ \binom{2k}{k} }{2^{2k}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} +- \ldots = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>.<ref name="SRF-002">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Zum goldenen Schnitt

Die goldene Zahl <math>\Phi</math> liefert folgendes Beispiel:<ref name="SRF-001" />

<math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} }{k^2 \binom{2k}{k} } = \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{9 \cdot 20} - \frac{1}{16 \cdot 70} +- \ldots = 2 \cdot {\ln (\Phi)}^2</math>

Den engen Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen <math>\left(f_n\right)_{n \in \N_0} = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, \ldots)</math> belegt auch die Gleichung

<math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{f_k} = 3{,}3598856662\ldots = \sqrt{5} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n }{{\Phi}^{2n+1} - (-1)^n} </math>.<ref name="SRF-003">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Zur Apéry-Konstante

Die Apéry-Konstante, also der Funktionswert der riemannschen Zetafunktion für das Argument <math>x = 3</math>, liefert ebenfalls Beispiele:<ref name="SRF-004">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} }{k^3 \binom{2k}{k} } = \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{8 \cdot 6} + \frac{1}{27 \cdot 20} - \frac{1}{64 \cdot 70} +- \ldots = \frac{2}{5} \cdot \zeta(3) </math>

Weiterhin gilt die folgende Reihendarstellung:

<math>\sum_{k=1}^{\infty} \left( (-1)^{k-1} \cdot {\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{km(k+m)} } \right) = \sum_{k,m=1}^{\infty} { \frac{(-1)^{k-1}}{km(k+m)} } = \frac{5}{8} \cdot \zeta(3)</math>.<ref group="A">Steven R. Finch nennt hier (vgl. Finch 2003, S. 43) für die Apéry-Konstante zudem die Darstellung <math>\zeta(3) = \sum_{k=2}^{\infty} {\sum_{m=1}^{k-1} \frac{1}{k^2 m} }</math>.</ref>

Zur catalanschen Konstante

Die catalansche Konstante ist sogar als alternierende Reihe definiert, und zwar als die folgende:<ref name="SRF-005">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2} = 1 - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} +- \ldots = G</math>

Zur Cahen-Konstante

Als weiteres Beispiel ist die Cahen-Konstante

<math>c = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{s_k-1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{42} + \frac{1}{1806} - \frac{1}{3263442} +- \ldots = 0{,}6434105462\ldots</math>

zu erwähnen, wobei die Folge <math>\left(s_k\right)_{k \in \N_0}</math> per Rekursion definiert ist:<ref name="SRF-006">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>s_{k+1} = {s_k}^2 - s_k + 1 \; (k \in \N_0)</math>.<ref group="A">Dies ist die nach James Joseph Sylvester benannte Sylvester’sche Folge. Vgl. dazu den in der englischsprachigen Wikipedia vorliegenden Artikel Sylvester's sequence sowie Folge A000058 in OEIS !</ref>

Eng verwandt mit der Cahen’schen Konstante ist die ebenfalls durch eine alternierende Reihe gegebene Konstante

<math>c^{'} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{s_k} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{7} - \frac{1}{43} + \frac{1}{1807} - \frac{1}{3263443} +- \ldots = 2\cdot c - 1 = 0{,}28682109258\ldots</math>.<ref group="A">Die Konstanten <math>c</math> und <math>c^{'}</math> sind Finch zufolge (vgl. Finch 2003, S. 436) beides transzendente Zahlen, während <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{s_k} = 1 </math> gilt. Fast nichts bekannt ist bislang (Stand 2003) über die Zahl <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{s_k - 1} = 1{,}6910302067\ldots </math>.</ref>

Zur Euler-Mascheroni-Konstante

Ein besonders bemerkenswertes Beispiel liefert die Euler-Mascheroni-Konstante <math>\gamma</math> durch eine Darstellung als alternierende Reihe unter Verwendung der Funktionswerte der riemannschen Zetafunktion:<ref name="SRF-004" />

<math>\gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}</math>.<ref group="A">Finch zufolge (vgl. Finch 2003, S. 43) gilt hier zudem die Reihendarstellung <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k) - 1}{k} = 1 - \gamma </math>.</ref>

Daneben sind weitere Darstellungen bekannt, wie etwa die Formel von Vacca:<ref name="SRF-00X">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math> \gamma = \sum_{k=2}^\infty \frac{ (-1)^k }{k} \cdot \lfloor \frac{\ln k}{\ln 2} \rfloor = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3} - \frac{2}{7} + \frac{3}{8} +- \ldots\ </math>.<ref group="A">Der Bruch <math>\frac{\ln k}{\ln 2}</math> ist der Zweierlogarithmus von <math>k</math>!</ref>

Zu einer Primzahlkonstanten

Bildet man aus den Kehrwerten der Primzahlen <math>\left(p_k \right)_{k \in \N} = \left( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \ldots \right)</math> die zugehörige alternierende Reihe, so erhält man:<ref name="SRF-007">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k }{p_k} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} -+ \ldots = -0{,}2696063519\ldots</math>.<ref group="A">Hier ist nach einem eulerschen Satz bekannt, dass für die Reihe <math>\sum_{k=1}^\infty { \frac {1} {p_k}} = \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \frac {1}{5} + \frac {1}{7}+ \ldots = \infty</math> gilt. Finch (vgl. Finch 2003, S. 96) verweist weiter auf die ebenfalls zugehörige Reihe <math>\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^k \cdot k} {p_k} = -\frac {1}{2} + \frac {2}{3} - \frac {3}{5} + \frac {4}{7} -+ \ldots </math>, über die bisher (Stand 2003) unbekannt ist, ob sie konvergiert oder divergiert, was 1996 von Paul Erdős als offenes Problem formuliert worden sei.</ref>

Zu zwei von Ramanujan behandelten Konstanten

Der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan fand zwei alternierende Reihen zur Darstellung zweier Konstanten im Zusammenhang mit der Gammafunktion <math>\Gamma</math> und der Kreiszahl <math>\pi</math>, nämlich

<math>\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{ {\binom{2k}{k}}^2 }{2^{4k} }

= \frac{ {\Gamma \left( \frac{1}{4} \right) }^2 }{ \left( 2\pi \right)^{\frac{3}{2}} } </math>

und

<math>\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{ {\binom{2k}{k}}^3 }{2^{6k} }

= \left( \frac{ \Gamma \left( \frac{9}{8} \right) }{ \Gamma \left( \frac{5}{4} \right) \cdot \Gamma \left( \frac{7}{8} \right) } \right)^2 </math>.<ref name="SRF-00Y">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Zum Integral von x hoch x

Das Integral

<math>\int_0^1 {x^x} \mathrm{d} x = \lim_{t \searrow 0} \int_t^1 {x^x} \mathrm{d} x = 0{,}7834305107\ldots</math>

besitzt die Darstellung

<math>\int_0^1 {x^x} \mathrm{d} x = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1} }{k^k} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{27} - \frac{1}{256} + \frac{1}{3125} +- \ldots </math>.<ref name="SRF-008">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref group="A">Hier gibt Finch (vgl. Finch 2003, S. 449) für das zugehörige uneigentliche Integral <math>\int_0^1 \frac{1}{x^x} \mathrm{d} x = 1{,}2912859970\ldots</math> ebenfalls eine Reihendarstellung: <math>\int_0^1 \frac{1}{x^x} \mathrm{d} x = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^k} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{27} + \frac{1}{256} + \frac{1}{3125} + \ldots </math>.</ref>

Darstellungen von Funktionen mittels alternierender Reihen

Wie die in der Analysis auftretenden Konstanten haben auch viele reelle Funktionen Reihendarstellungen mittels alternierender Reihen. Hierfür gibt es eine Reihe von bedeutenden Beispiele – wie etwa:

Zur Logarithmusfunktion

Das obige Beispiel zum Logarithmus von <math>2</math> lässt sich verallgemeinern. Hier ergibt sich nämlich für reelle Zahlen <math>x</math> mit <math>-1 < x \leq 1</math> die Reihenentwicklung

<math>\ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{x^k}{k} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} +- \ldots</math>,<ref name="BSMM-002">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="OF-002">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

aus der für nichtnegative <math>x</math> (offenbar) alternierende Reihen hervorgehen.<ref group="A">Im Falle <math>x=1</math> gewinnt man das zuvor genannte Beispiel.</ref>

Zur Kehrwertfunktion

Ein interessantes Beispiel liefert die für reelle <math>x</math> mit <math>|x| < 1</math> gebildete geometrische Reihe

<math>\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} (-x)^k = 1-x + x^2 - x^3 +- \ldots = \frac{1}{1+x}</math>.

Diese bildet für den Fall <math>x \geq 0</math> eine alternierende Reihe, die jedoch zusätzlich absolut konvergent ist. Hier ist dann die Situation gegeben, dass man die Reihensumme einfach als Summe der nur aus den positiven und der nur aus den negativen Gliedern gebildeten Teilreihen ermittelt, also als Differenz zweier Reihen aus lauter positiven Gliedern.<ref name="RC-001" />

Zur Arkustangensfunktion

Das obige Beispiel zur Leibnizschen Reihe lässt sich verallgemeinern vermöge der (alternierenden!) Arkustangensreihe für reelle Zahlen <math>x</math> mit <math>-1 \leq x \leq 1</math>. Hier gilt nämlich:<ref name="OF-003">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\arctan x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5 - \frac{1}{7} x^7 + \ldots</math>.<ref group="A">Im Falle <math>x=1</math> gewinnt man die zuvor genannte Leibnizsche Reihe.</ref>

Zu Sinus und Kosinus

Zu den bedeutenden alternierenden Reihen zählen ebenfalls die Taylorreihen für die reelle Sinus- und Kosinusfunktion:<ref name="OF-004">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref group="A">Diese Taylorreihen sind für sogar für alle reellen Zahlen und auch für alle komplexen Zahlen <math>x</math> absolut konvergent.</ref>

<math> \sin(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +- \ldots \; (x \in \R)</math>

<math> \cos(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +- \ldots \; (x \in \R)</math>

Zur riemannschen Zetafunktion und zur dirichletschen Etafunktion

In den Zusammenhang mit der oben genannten alternierenden harmonischen Reihe gehört als weiteres Beispiel die folgende alternierende Reihe, die eng mit der (schon erwähnten) riemannschen Zetafunktion verbunden ist und die als eines von vielen Beispielen einer Dirichletreihe gelten kann. Hier gewinnt man nämlich, wie G. M. Fichtenholz in seiner Differential- und Integralrechnung II darlegt, für reelle Zahlen <math>x \in \R^{>1}</math> die Darstellung:<ref name="GMF-003">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\eta(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^x} = 1-\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3^x}-\frac{1}{4^x} +- \ldots = \left(\ 1- \frac{1}{2^{x-1}} \right) \cdot \zeta(x)</math>.

In ähnlicher Weise hat man für reelle Zahlen <math>x</math> mit <math>0 < x< 1</math> die Darstellung

und dann sogar

<math>\zeta(x) = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n { \frac{1}{k^x} } - { \frac{n^{1-x}}{1-x} } \right)</math>.<ref name="SRF-004" /><ref group="A">Finch (vgl. Finch 2003, S. 43) folgend lässt sich daraus zum Beispiel die Reihenentwicklung <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt {k}} =

\frac{-1}{1 + \sqrt {2} } \cdot \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt {2}} +  \ldots + \frac{1}{\sqrt {n}} - 2 \cdot \sqrt {n} \right) = \frac{1{,}4603545088\ldots}{1 + \sqrt {2} } = 0{,}6048986434\ldots</math> gewinnen.</ref>

Zur dirichletschen Betafunktion

Die oben genannten catalansche Konstante <math>G</math> gehört ebenfalls zu einem funktionalen Beispiel. Es handelt sich um die dirichletsche Betafunktion, welche für reelle Zahlen <math>x \in \R^{>0}</math> als alternierende Reihe

<math>\beta(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^x} = 1 - \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} - \frac{1}{7^x} + \frac{1}{9^x} +- \ldots</math>

dargestellt werden kann.<ref name="SRF-009">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref group="A">Hier hat man <math>\beta(2) = G</math>.</ref>

Zu den Bessel-Funktionen

Im Zusammenhang mit der besselschen Differentialgleichung treten die Bessel-Funktionen <math>n</math>-ter Ordnung 1. Gattung <math>J_n</math> auf, welche für reelle Zahlen <math>x \in \R</math> stets alternierende Reihen der Form

<math>J_n(x)

= \sum_{k=0}^{\infty} {(-1)^k \cdot \frac{ \left( \frac{x}{2} \right)^{n + 2k}}{k! \cdot \Gamma(n+k+1)} } = \frac{x^n}{2^n \cdot \Gamma(n+1)} \cdot \left( 1 - \frac{x^2}{2 \cdot (2n+2)} + \frac{x^4}{2 \cdot 4 \cdot (2n+2) \cdot (2n+4)} -+ \ldots \right) </math>

liefern.<ref name="BSMM-003">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Beispiel einer divergenten alternierende Reihe

Ein Beispiel für eine divergente alternierende Reihen ist

<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1} \cdot (k+1)}{k}=2-\frac{3}{2}+\frac{4}{3}-\frac{5}{4} +- \ldots</math>,

bei dem zu beachten ist, dass die Folge <math>\left( \frac{k+1}{k} \right)_{k=1,2,3,\dots, \infty}</math> zwar monoton fallend ist, jedoch den Grenzwert <math>1</math> hat.<ref name="JHK-001">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Literatur

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Einzelnachweise

Anmerkungen