Apéry-Konstante

Die Apéry-Konstante ist eine mathematische Konstante, die als Wert der Reihe

<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3} = \frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \dotsb</math>

definiert ist. Das ist der Wert <math>\zeta(3)</math> der riemannschen ζ-Funktion an der Stelle 3. Namensgeber Roger Apéry bewies, dass <math>\zeta(3)</math> eine irrationale Zahl ist.

Grundlegendes

Ihre Dezimaldarstellung bis zur 50. Nachkommastelle lautet

<math>\zeta(3) = 1{,}20205\text{ }69031\text{ }59594\text{ }28539\text{ }97381\text{ }61511\text{ }44999\text{ }07649\text{ }86292\text{ }34049\text{ }\dotso</math> (Folge A002117 in OEIS).

Derzeit (Stand August 2020) sind 1.200.000.000.100 dezimale Nachkommastellen bekannt, ihre Berechnung wurde von Seungmin Kim am 26. Juli 2020 vollendet.<ref>Records set by y-cruncher. Abgerufen am 12. August 2019. </ref>

Die Konstante wurde 1735 von Euler betrachtet.<ref>Leonhard Euler: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali. 13. Oktober 1735, Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „1,202056903159594“ auf S. 21).</ref> Sie ist nach Roger Apéry benannt, der 1979 bewies, dass sie irrational ist.<ref>Roger Apéry: Irrationalité de <math>\zeta(2)</math> et <math>\zeta(3)</math>. Astérisque 61, 1979, S. 11–13 (französisch).</ref> Ob sie auch transzendent ist, ist bisher nicht bekannt, auch nicht, ob sie normal ist<ref>David H. Bailey, Richard E. Crandall: <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />Random Generators and Normal Numbers. (Memento vom 13. Oktober 2003 im Internet Archive). (PDF; 399 kB), Experimental Mathematics 11, 2002, S. 527–546 (englisch).</ref> oder ob <math>\zeta(3)/\pi^3</math> irrational ist<ref>Finch: Apéry’s constant. 2003, S. 41 (englisch).</ref> (mit Kreiszahl <math>\pi</math>). Über die Werte der Zetafunktion bei weiteren ungeraden natürlichen Zahlen weiß man – im Gegensatz zu den Werten bei geraden Zahlen – wenig: Es müssen unendlich viele der Zahlen <math>\zeta(2n+1),\, n = 1, 2, 3, \dotsc</math> irrational sein,<ref>Tanguy Rivoal: La Fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs. Comptes rendus de l’Académie des sciences Série I 331, 2000, S. 267–270 (französisch; arxiv:math/0008051v1).</ref> dabei mindestens eine von <math>\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9)</math> und <math>\zeta(11)</math>.<ref>W. W. Zudilin: One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational. Russian Mathematical Surveys 56, 2001, S. 774–776 (englisch).</ref>

Für das Irrationalitätsmaß <math>\operatorname{r}(\zeta) = \inf R</math>, wobei <math>R</math> die Menge der positiven reellen Zahlen <math>\rho</math> ist, für die höchstens endlich viele Paare positiver ganzer Zahlen <math>p</math> und <math>q</math> mit <math>\textstyle 0 < \mathopen|\zeta-\frac{p}{q}\mathclose| < \frac{1}{q^{\rho}}</math> existieren, sind die Schranken <math>2 \le r(\zeta(3)) < 5{,}513891</math> bekannt,<ref>Georges Rhin, Carlo Viola: The group structure for ζ(3). Acta Arithmetica 97, 2001, S. 269–293 (englisch).</ref> insbesondere ist <math>\zeta(3)</math> nicht liouvillesch.

Der Kehrwert <math>\tfrac{1}{\zeta(3)} = 0{,}83190\,73725\,80707\,46868 \dotso</math> (Folge A088453 in OEIS) ist die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass drei ganze Zahlen teilerfremd sind, und ebenso die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl kubikfrei (nicht durch eine Kubikzahl größer 1 teilbar) ist. Dies sind Spezialfälle davon, dass <math>n</math> ganze Zahlen mit asymptotischer Wahrscheinlichkeit <math>\tfrac{1}{\zeta(nk)}</math> keine <math>k</math>-te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben.<ref>M. Beeler, R. W. Gosper, R. Schroeppel: HAKMEM. MIT AI Memo 239, 29. Februar 1972 (englisch), ITEM 53 (Salamin).</ref>

Reihendarstellungen

Apéry verwendete die Formel

<math>\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3 \binom{2n}{n}}.</math>

Ein bereits Euler bekanntes Resultat ist

<math>\zeta(3) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^2}</math>

mit den harmonischen Zahlen <math>H_n</math>. Zahlreiche verwandte Formeln wie

<math>\zeta(3) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{ij(i+j)}</math>

führen ebenfalls zur Apéry-Konstante.<ref>Walther Janous: Around Apéry’s constant. Journal of inequalities in pure and applied mathematics 7, 2006, Artikel 35 (englisch).</ref>

Unter Anwendung der dirichletschen λ-Funktion und der dirichletschen η-Funktion erhält man aus <math>\zeta(z)/2^z = \lambda(z)/(2^z-1) = \eta(z)/(2^z-2)</math> die Darstellung

<math>\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^3} = \frac{4}{3} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3}. </math>

Eine schnell konvergierende Reihe stammt von Tewodros Amdeberhan und Doron Zeilberger (1997):<ref>Tewodros Amdeberhan, Doron Zeilberger: <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />Hypergeometric series acceleration via the WZ method. (Memento vom 30. April 2011 im Internet Archive). The Electronic Journal of Combinatorics 4(2), 1997 (englisch).</ref>

<math>\zeta(3) = \frac1{24} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{A(n)\cdot (2n+1)!^3 \cdot (2n)!^3 \cdot n!^3}{(3n+2)! \cdot (4n+3)!^3}</math>

mit <math>A(n) = 126392 n^5 + 412708 n^4 + 531578 n^3 + 336367 n^2 + 104000 n + 12463.</math>

Nach Matyáš Lerch (1900):<ref>Matyáš Lerch: Sur la fonction ζ(s) pour les valeurs impaires de l’argument. Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14, 1900, S. 65–69 (französisch; Jahrbuch-Zusammenfassung).</ref>

<math>\zeta(3) = \frac{7\pi^3}{180} - 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n}-1)}</math>.

Simon Plouffe entwickelte diesen Ausdruck weiter:<ref>Simon Plouffe: Identities inspired by Ramanujan Notebooks (part 2). April 2006 (englisch).</ref>

<math>\zeta(3) = \frac{\pi^3}{28} + \frac{16}{7} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{\pi n}+1)} - \frac{2}{7} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{2\pi n}+1)}</math>

<math>\zeta(3) = 28 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{\pi n}-1)} - 37 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{2\pi n}-1)} + 7 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{4\pi n}-1)}</math>.

Bei Max Koecher findet man folgende Reihendarstellung, durch die man beim Abbrechen an der Stelle <math> n=7 </math> neun korrekte Dezimalstellen erhält:<ref>Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Birkhäuser-Verlag, Basel / Boston 1987, S. 52.</ref>

<math>\zeta(3) = \frac{9}{8} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^3 \left( 9n^8 + 18n^6 + 21n^4 + 4 \right)}</math>.

Weitere Darstellungen

Produktreihendarstellungen

Eine Verbindung zu den Primzahlen ist

<math>\zeta(3) = \prod_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{1 - p^{-3}}</math>

als Spezialfall des Euler-Produkts (Euler 1737).<ref>Leonhard Euler: Variae observationes circa series infinitas. 25. April 1737, Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 9, 1744, S. 160–188 (lateinisch; Euler-Produkt als „Theorema 8“ auf S. 174 f.).</ref>

Integraldarstellungen

Vorlage:Hinweisbaustein Für die Apéry-Konstante gibt auch einige Integraldarstellungen.

Die Werte der folgenden Integrale gehen direkt aus den betroffenen trilogarithmischen Stammfunktionen hervor:

<math>\zeta(3) = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\, \mathrm{d}z}{1 - xyz}</math>

<math>\zeta(3) = \frac{1}{2} \int \limits_0^\infty \frac{x^2}{\mathrm{e}^x - 1} \mathrm{d}x</math>

<math>\zeta(3) = \frac{8}{7} \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\operatorname{artanh}(x)^2 \mathrm{d}x</math>

Diese drei Integrale kommen durch die sogenannten Abel-Plana-Summenformeln zustande:

<math>\zeta(3) = \int_{0}^{\infty} \frac{\pi(-x^2+1)}{(x^2 + 1)^2}\operatorname{sech}\bigl(\frac{1}{2}\pi x\bigr)^2\,\mathrm{d}x</math>

<math>\zeta(3) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3}\int_{0}^{\infty} \frac{3x - x^3}{(x^2 + 1)^3}\operatorname{csch}(\pi x)\,\mathrm{d}x</math>

<math>\zeta(3) = 1 + \int_{0}^{\infty} \frac{3x - x^3}{(x^2 + 1)^3}\exp(-\pi x)\operatorname{csch}(\pi x)\,\mathrm{d}x</math>

Folgende weiteren Integrale weisen ebenso Stammfunktionen auf, welche nicht als elementare Kombination der Polylogarithmen dargestellt werden können:

<math>\zeta(3) = \frac{2}{3}\pi ^3\int\limits_0^1 x\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-1)\cot (\pi x)\mathrm{d}x</math><ref>Abramowitz-Stegun: Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers. S. 807, Formel 23.2.17.</ref>

<math>

\zeta(3) = \int_{0}^{\infty} \frac{\pi^2}{14 \,x^2}\operatorname{tanh}(x)^2 \,\mathrm{d}x </math>

<math>\zeta(3) = \int_{0}^{\infty} \frac{\pi^2}{7x} \tanh(x)\operatorname{sech}(x)^2 \,\mathrm{d}x</math>

<math>\zeta(3) = \int_{0}^{\infty} \frac{\pi^2 x}{7(x^2 + 1)^2 \operatorname{arsinh}(x)}\,\mathrm{d}x</math>

Funktionalidentitäten

Die Apéry-Konstante kann auch mit der Dirichletschen Lambdafunktion und Etafunktion dargestellt werden:

<math>\zeta(3) = \frac{8}{7}\,\lambda(3) = \frac{4}{3}\,\eta(3)</math>

Sie taucht ebenfalls als ein Spezialfall der zweiten Polygammafunktion auf, es gilt nämlich:

Literatur

Frits Beukers: A note on the irrationality of <math>\zeta(2)</math> and <math>\zeta(3)</math>. Bulletin of the London Mathematical Society 11, Oktober 1979, S. 268–272 (englisch).
Steven R. Finch: Apéry’s constant. Kapitel 1.6 in Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 40–53 (englisch).
Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel, Boston 1987, ISBN 3-7643-1824-4 (Kapitel II!).
Alfred van der Poorten: A proof that Euler missed … Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report. The Mathematical Intelligencer 1, Dezember 1979, S. 195–203 (englisch: Alf’s reprints. Paper 45, PDF; 205 kB).

Weblinks

Wikibooks: Beweis der Irrationalität von Zeta(3) nach Frits Beukers – Lern- und Lehrmaterialien

Eric W. Weisstein: Apéry’s Constant. In: MathWorld (englisch).
Folge A013631 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von ζ(3))
Folge A053980 in OEIS (Engel-Entwicklung von ζ(3))

Einzelnachweise