Dualität von Lp-Räumen

Unter Dualität von L^p-Räumen, kurz L^p-Dualität, versteht man eine Reihe von Sätzen aus dem mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis, die sich mit den Dualräumen von L^p-Räumen beschäftigen, wobei <math>1\le p < \infty</math> eine reelle Zahl ist. Die wesentliche Aussage lautet, dass Dualräume von L^p-Räumen wieder von dieser Art sind, nämlich L^q-Räume, wobei <math>\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1</math> sein muss. Das heißt, in einprägsamer Form gilt <math>(L^p)\,' \cong L^q</math>.

Der Fall p > 1

Es sei <math>q</math> der sogenannte zu <math>p</math> konjugierte Exponent, das heißt diejenige Zahl <math>1<q<\infty</math>, für die <math>\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1</math> gilt. Dies ist äquivalent mit <math>q=\tfrac{p}{p-1}</math>. Ist weiter <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> ein Maßraum, dann kann man die Banachräume <math>L^p(X,\mathcal{A},\mu)</math> und <math>L^q(X,\mathcal{A},\mu)</math> über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> bilden, wobei <math>\mathbb{K}</math> für <math>\R</math> oder <math>\Complex</math> steht. Wie üblich werden fast überall übereinstimmende Funktionen ohne weitere Hinweise identifiziert, um eine umständliche Sprech- und Schreibweise über Äquivalenzklassen von Funktionen zu vermeiden. Nach der Hölderschen Ungleichung gilt

<math> \left| \int_X f(x)g(x)\, \mathrm{d}\mu(x) \right| \le \|f\|_p \|g\|_q </math> für alle <math>f \in L^p(X,\mathcal{A},\mu),\, g\in L^q(X,\mathcal{A},\mu)</math>,

wobei <math>\|\cdot\|_p</math> die Norm auf dem L^p-Raum bezeichnet und entsprechend <math>\|\cdot\|_q</math>. Diese Abschätzung zeigt, dass

<math>T_g\colon L^p(X,\mathcal{A},\mu) \rightarrow \mathbb{K},\quad f\mapsto \int_X fg\, \mathrm{d}\mu </math>

ein beschränktes lineares Funktional auf <math>L^p(X,\mathcal{A},\mu)</math>, also ein Element des Dualraums <math>L^p(X,\mathcal{A},\mu)\,'</math> ist, mit <math>\|T_g\| \le \|g\|_q</math>. Mit Hilfe des Satzes von Radon-Nikodým kann man zeigen, dass jedes beschränkte lineare Funktional auf <math>L^p(X,\mathcal{A},\mu)</math> von dieser Form ist und dass für die Normen sogar Gleichheit gilt. Man hat daher folgenden Satz<ref>Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 4.5.17</ref><ref>Dunford, Schwartz: Linear Operators, Part I, General Theory. ISBN 0-471-60848-3, Kapitel IV.8, Theorem 1</ref>:

Es seien <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> ein Maßraum und <math>1<p<\infty</math>. Dann ist die Abbildung

<math>T: L^q(X,\mathcal{A},\mu) \rightarrow L^p(X,\mathcal{A},\mu)\,',\quad g\mapsto T_g,\quad T_g(f) := \int_X fg\, \mathrm{d}\mu </math>

ein isometrischer Isomorphismus.

Genau dieser Isomorphismus ist gemeint, wenn man kurz <math> L^p(X,\mathcal{A},\mu)\,' \cong L^q(X,\mathcal{A},\mu)</math> schreibt.

Da <math>p</math> und <math>q</math> ja in einer symmetrischen Beziehung zueinander stehen, ergibt sich aus diesem Satz sofort

<math> L^p(X,\mathcal{A},\mu)\, \cong L^q(X,\mathcal{A},\mu)\,' \cong L^p(X,\mathcal{A},\mu)</math>.

Verwendet man die im Satz angegebenen Isomorphismen, so erkennt man, dass es sich hier um die kanonische Einbettung von <math>L^p(X,\mathcal{A},\mu)</math> in seinen Bidualraum handelt. Die L^p-Räume sind für <math>1<p<\infty</math> also reflexiv.

Obiger Satz, der manchmal nicht ganz korrekt als Satz von Riesz zitiert wird, hat mehrere Väter. Der bereits 1907 bewiesene Hilbertraum-Fall <math>L^2([0,1])</math> geht auf M. Fréchet zurück.<ref>M. Fréchet: Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéares, C. R. Acad Sci Paris 144 (1907), Seiten 1414–1416</ref> Das Einheitsintervall steht hier für den Maßraum [0,1] mit der Borelschen σ-Algebra und dem auf [0,1] eingeschränkten Lebesgue-Maß. Die Verallgemeinerung dieses Ergebnisses auf beliebige Hilberträume ist auch als Darstellungssatz von Fréchet-Riesz (oder Rieszscher Darstellungssatz) bekannt. F. Riesz hat drei Jahre später den Fall <math>L^p[0,1]</math> für <math>1<p<\infty</math> bewiesen.<ref>F. Riesz: Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann. 69 (1910), Seiten 449–497</ref> Das wurde dann von O. M. Nikodým auf den Fall endlicher Maßräume verallgemeinert.<ref>O. M. Nikodým: Contribution à la théorie des fonctionelles linéaires en connexion avec la théorie de la mesure des ensembles abstraits, Mathematica Cluj 5 (1931), Seiten 130–141</ref> Der allgemeinste Fall eines beliebigen Maßraums wurde schließlich 1950 von E. J. McShane behandelt.<ref>E. J. McShane: Linear functionals on certain Banach spaces, Proc Amer. Math. Soc. 1 (1950), Seiten 401-408</ref>

Ein sehr einfacher Spezialfall sind die Folgenräume <math>\ell^p</math>, die man erhält, wenn man <math>X=\N</math> und für <math>\mu</math> das Zählmaß nimmt. Die Elemente aus <math>\ell^p</math> werden als Folgen <math>(a_n)_n</math> geschrieben, wobei eine solche Folge für die <math>L^p</math>-Funktion <math>\N\rightarrow \mathbb{K},\,n\mapsto a_n</math> steht. Für die Dualität zwischen <math>\ell^p</math> und <math>\ell^q</math> erhält man an Stelle obiger Integrale eine Summe:

<math>T_b((a_n)_n) = \sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> für alle <math>(a_n)_n \in \ell^p</math> und <math>b=(b_n)_n \in \ell^q</math>.

Diese Aussage kann auch ohne maßtheoretischen Aufwand bewiesen werden.

Der Fall p = 1

Ein entsprechender Satz über den Dualraum von L¹-Räumen gilt nicht in voller Allgemeinheit. Bildet man den zu 1 konjugierten Exponenten, so muss man <math>q=\infty</math> nehmen. H. Steinhaus konnte 1919 in der Tat

<math>L^1([0,1])\,'\cong L^\infty([0,1])</math>

zeigen, wobei die isometrische Isomorphie durch den zum oben definierten Operator <math>T</math> analogen Operator vermittelt wird.<ref>H. Steinhaus: Additive und stetige Funktionaloperationen, Math. Zeitschrift 5 (1919), Seiten 186–221</ref> Die zusätzliche Schwierigkeit besteht letztlich darin, dass die auftretenden Räume, von trivialen Ausnahmen abgesehen, nicht mehr reflexiv sind. Es lässt sich aber noch folgender Satz zeigen:<ref>Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 4.5.17</ref><ref>Dunford, Schwartz: Linear Operators, Part I, General Theory. ISBN 0-471-60848-3, Kapitel IV.8, Theorem 5</ref>

Es sei <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> ein <math>\sigma</math>-endlicher Maßraum. Dann ist die Abbildung

<math>T: L^\infty(X,\mathcal{A},\mu) \rightarrow L^1(X,\mathcal{A},\mu)\,',\quad g\mapsto T_g,\quad T_g(f) := \int_X fg \mathrm{d}\mu </math>

ein isometrischer Isomorphismus.

Auf die zusätzliche Voraussetzung der <math>\sigma</math>-Endlichkeit des Maßraums kann nicht verzichtet werden. Betrachtet man zum Beispiel auf <math>X=\R</math> die <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{A}</math> derjenigen Mengen, die abzählbar sind oder deren Komplement abzählbar ist, und als Maß <math>\mu</math> das Zählmaß, so ist <math>L^1(\R,\mathcal{A},\mu)</math> der Raum aller Funktionen <math>f\colon\R\rightarrow \mathbb{K}</math>, die höchstens an abzählbar vielen Stellen von null verschieden sind und für die <math>\textstyle\sum_{x\in \R}|f(x)| < \infty</math> gilt. Offenbar ist durch <math>\textstyle f\mapsto \sum_{x \ge 0}f(x) </math> ein beschränktes lineares Funktional auf <math>L^1(\R,\mathcal{A},\mu)</math> definiert. Wäre dieses von der Form <math>T_g</math> für ein <math>g\in L^\infty(\R,\mathcal{A},\mu)</math>, so müsste <math>g</math> konstant gleich 1 auf <math>[0,\infty)</math> und konstant gleich 0 auf <math>(-\infty,0)</math> sein. Eine solche Funktion ist aber nicht <math>\mathcal{A}</math>-messbar. Daher kann in diesem Beispiel die im Satz beschriebene Isomorphie nicht bestehen.

Es gibt aber eine wichtige Situation, die auch gewisse nicht-<math>\sigma</math>-endliche Maßräume umfasst, in der man dennoch zu einem befriedigenden Resultat kommt, nämlich die der lokalkompakten Gruppen. In der harmonischen Analyse ist folgender Satz wichtig<ref>Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 9.4.8</ref>:

Es seien <math>G</math> eine lokalkompakte Gruppe, <math>\mathcal{B}</math> die Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>G</math> und <math>\mu</math> ein reguläres Borelmaß auf <math>G</math>. Dann ist

<math>T\colon L^\infty(G,\mathcal{B},\mu) \rightarrow L^1(G,\mathcal{B},\mu)\,',\quad g\mapsto T_g,\quad T_g(f) := \int_G fg\, \mathrm{d}\mu </math>

ein isometrischer Isomorphismus.

Dabei heißt das Maß <math>\mu</math> regulär, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

• <math>\mu(K) < \infty</math> für alle kompakten Teilmengen <math>K\subset G</math>,
• <math>\mu(U) = \sup\{\mu(K);\, K\subset U, K \mbox{ kompakt} \}</math> für alle offenen Teilmengen <math>U\subset G</math>,
• <math>\mu(B) = \inf \{\mu(U);\, B\subset U \subset G, U \mbox{ offen}\} </math> für alle Borelmengen <math>B\in \mathcal{B}</math>.

Der Satz gilt also insbesondere auch für das Haarsche Maß auf <math>G</math>, das heißt, man kann den Dualraum der Gruppenalgebra <math>L^1(G)</math> auch für nicht-<math>\sigma</math>-endliche Gruppen durch obigen Satz beschreiben.

Der Fall 0 < p < 1

Für <math> 0 < p < 1 </math> ist L^p(X,A,μ) zwar kein normierter Raum, aber immerhin ein vollständiger topologischer Vektorraum<ref name="Elstrodt">Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, Kapitel 6, S. 223–225, 229–234, 263, 268. </ref><ref>Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, Kapitel X: Integrationstheorie, Aufgabe 13, S. 131. </ref> mit der Quasinorm

<math>N_p\,:\,L^p\left(X,\mathcal{A},\mu\right)\,\rightarrow\,\R\;, \qquad N_p\left(f\right) := \left( \int_X \left| f \right|^p \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}}</math>

bzw. der Pseudonorm oder Fréchet-Metrik

<math>\varrho_p\,:\,L^p\left(X,\mathcal{A},\mu\right)\,\rightarrow\,\R\;, \qquad \varrho_p\left(f\right) := \left(N_p\left(f\right)\right)^p = \int_X \left| f \right|^p \mathrm{d}\mu\;.</math>

Diese Räume sind im Allgemeinen nicht lokalkonvex, der Satz von Hahn-Banach also im Allgemeinen nicht anwendbar, sodass es möglicherweise „sehr wenige“ lineare stetige Funktionale gibt. Insbesondere ist nicht gesichert, dass die schwache Topologie auf <math>L^p\left(X,\mathcal{A},\mu\right)</math> Punkte trennen kann.

Prototypisch ist das Beispiel <math>L^p\left(\left[0,\,1\right]\right) := L^p\left(\left[0,\,1\right],\mathcal{B}\left(\left[0,\,1\right]\right),\lambda\right)</math> mit der Borel-Algebra <math>\mathcal{B}\left(\left[0,\,1\right]\right)</math> über dem Intervall <math>\left[0,\,1\right]</math> und dem Borel-Lebesgue-Maß <math>\lambda</math>. Hier sind die einzigen konvexen offenen Mengen die leere Menge <math>\emptyset</math> und der gesamte Raum <math>L^p\left(\left[0,\,1\right]\right)</math> selbst.<ref name="Elstrodt" /><ref>Walter Rudin: Functional Analysis. 2. Auflage. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 36–37. </ref><ref>Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, Kapitel 2. Teilmengen von Funktionenräumen, U2.11, S. 140. </ref> Da Urbilder konvexer offener Mengen in <math>\mathbb{K}</math> unter einem linearen stetigen Funktional konvexe offene Mengen in <math>L^p\left(\left[0,\,1\right]\right)</math> sind, folgt, dass das Nullfunktional das einzige lineare stetige Funktional ist. Der Dualraum ist somit trivial:

<math>\left(L^p\left(\left[0,\,1\right]\right)\right)' = \left\{0\right\}</math>.

Insbesondere ist in diesem Raum die Aussage des Trennungssatzes nicht gültig, da sich keine zwei Punkte durch eine abgeschlossene Hyperebene trennen lassen. Die schwache Topologie auf <math>L^p\left(\left[0,\,1\right]\right)</math> ist indiskret.

Es gibt aber auch weniger extreme Beispiele, wie die Folgenräume <math>\ell^p := L^p\left(\N,\mathcal{P}\left(\N\right),\mu\right)</math> mit dem Zählmaß <math>\mu</math>. Diese Räume besitzen zwar nichttriviale absolutkonvexe offene Mengen, aber nicht genug um eine Nullumgebungsbasis zu bilden: Da jede konvexe offene Menge in <math>\ell^p</math> unbeschränkt ist, sind auch die <math>\ell^p</math> nicht lokalkonvex.<ref>S. M. Khaleelulla: Counterexamples in Topological Vector Spaces. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1982, ISBN 978-3-540-39268-2, Chapter 1 Example 3(ii), S. 13. </ref> Trotzdem gibt es „viele“ lineare stetige Funktionale. Es gilt nämlich für <math> 0 < p < 1 </math>:

<math>\left(\ell^p\right)' = \left(\ell^1\right)' = \ell^{\infty}\;.</math>

Die Inklusion „<math>\supset</math>“ sieht man leicht, denn für <math>x=\left(x_k\right) \in \ell^p</math> und <math>y=\left(y_k\right) \in \ell^{\infty}</math> gilt:

<math>

\left| \sum\limits_{k\in\N} x_k\,y_k \right| \le \left(\sum\limits_{k\in\N} \left|x_k\right|\right)\,\left(\sup\limits_{k\in\N} \left|y_k\right|\right) \le N_p\left(x\right)\,\left\|y\right\|_{\infty}\;. </math>

Für <math>X = \left\{1,\,\ldots\,n\right\}</math>, <math>\mathcal{A}=\mathcal{P}\left(X\right)</math> und <math>\mu</math> das Zählmaß, also <math>L^p\left(X,\mathcal{A},\mu\right)\cong \mathbb{K}^n</math> mit der <math>p</math>-Quasinorm, ist die Topologie auf diesem Raum sogar mit der üblichen Topologie des <math>\mathbb{K}^n</math> identisch, da es auf jedem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraum genau eine Hausdorff-Topologie gibt, die den Raum zu einem topologischen Vektorraum macht.<ref>Klaus Floret, Joseph Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume. 1. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1968, ISBN 978-3-540-35855-8, §3.4, S. 17. </ref> Obwohl die Kugeln in der erzeugenden Quasinorm nicht konvex sind, erzeugt diese eine lokalkonvexe Topologie:

<math> n^{1-\frac{1}{p}}\,N_p\left(x\right) \le \left\|x\right\|_1 \le N_p\left(x\right)\;.</math>

Der Satz von Hahn-Banach ist anwendbar und der Dualraum wieder <math>\mathbb{K}^n</math>, wie im euklidischen bzw. unitären Fall. Die schwache Topologie ist aus den gleichen Gründen wie oben mit der <math>p</math>-Quasinormtopologie sowie der üblichen Topologie identisch.

Banachraum-wertige L^p-Funktionen

Ist neben dem Maßraum <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> noch ein Banachraum <math>E</math> gegeben, so kann man den Raum <math>L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)</math> aller <math>\mathcal{A}</math>-messbaren Funktionen <math>f\colon X\rightarrow E</math>, für die das Integral <math>\textstyle\int_X \|f(x)\|^p\,\mathrm{d}\mu(x)</math> endlich ist, bilden, wobei wie üblich fast überall übereinstimmende Funktionen identifiziert werden (siehe auch Bochner-Integral). Die Norm

<math>\|f\|_p := \left(\int_X \|f(x)\|^p\,\mathrm{d}\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}} </math>

macht <math>L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)</math> zu einem Banachraum. Sind nun <math>f\in L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)</math> und <math>g\in L^q(X,\mathcal{A},\mu,E\,')</math>, so kann man

<math>\int_X gf\, \mathrm{d}\mu = \int_X \underbrace{g(x)}_{\in E\,'} (\underbrace{f(x)}_{\in E})\, \mathrm{d}\mu(x)</math>

bilden, und es gilt:

<math>\left|\int_X gf\, \mathrm{d}\mu\right| \le \int_X |g(x)(f(x))|\, \mathrm{d}\mu(x) \le \int_X \|g(x)\|_q\|f(x)\|_p\, \mathrm{d}\mu(x) \le \|g\|_q\|f\|_p</math>.

Man erhält daher wieder eine Abbildung

<math>T\colon L^q(X,\mathcal{A},\mu,E\,') \rightarrow L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)\,'</math>

und man kann folgenden Satz zeigen<ref>R. E. Edwards: Functional Analysis: Theory And Applications, Dover Publications, ISBN 0-486-68143-2, 8.20</ref>:

Sind <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> ein Maßraum, <math>E</math> ein separabler, reflexiver Banachraum und <math>1<p<\infty</math> sowie <math>q</math> der zu <math>p</math> konjugierte Exponent, so ist

<math>T\colon L^q(X,\mathcal{A},\mu,E\,') \rightarrow L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)\,',\, g\mapsto T_g,\, T_g(f) = \int_X gf\, \mathrm{d}\mu </math>

ein isometrischer Isomorphismus.

Es gilt also die erwartete und leicht einprägsame Formel

<math>L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)\,' \cong L^q(X,\mathcal{A},\mu,E\,')</math>.

Gewichtete l^p-Räume

Es sei eine Folge <math>w=(w_n)_{n\in\N}</math> positiver Zahlen, sogenannter Gewichte, gegeben. Der zugehörige gewichtete <math>\ell^p</math>-Raum ist der Folgenraum

<math>\ell^p(w) := \left\{(a_n)_n \left|\,\textstyle \sum\limits_{n\in\N}|a_n|^p w_n^p < \infty \right.\right\}</math>

mit der Norm

<math>\|(a_n)_n\|_{p,w} := \left(\sum_{n\in\N}|a_n|^p w_n^p\right)^{\frac{1}{p}}</math>.

Dies ist nichts anderes als der Raum <math>L^p(\N,\mathcal{P}(\N),\mu_w)</math>, wobei das Maß <math>\mu_w</math> durch <math>\mu_w(\{n\}) = w_n</math> definiert ist. Wendet man darauf obigen Satz über die L^p-Dualität an, erhält man einen isometrischen Isomorphismus

<math>T\colon \ell^q(w) \rightarrow \ell^p(w)\,',\, b= (b_n)_n \mapsto T_b, \quad T_b((a_n)_n) := \sum_{n\in\N}a_n b_n w_n^p </math>.

In der Theorie der Folgenräume betrachtet man aber lieber eine durch den Ausdruck <math>\textstyle\sum_{n\in\N}a_n b_n</math> gegebene Dualität, das heißt, man möchte die Faktoren <math>w_n^p</math> vermeiden. Dazu muss man von der Folge <math>(b_n)_n\in \ell^q(w)</math> zur Folge <math>(b_n w_n^p)_n</math> übergehen. Da <math>p-pq=-q</math>, gilt

<math>\|(b_n)_n\|^q_{q,w} = \sum_{n\in \N}|b_n|^q w_n^p = \sum_{n\in \N}|b_n w_n^p|^q w_n^{p-pq} = \sum_{n\in \N}|b_n w_n^p|^q w_n^{-q} = \|(b_n w_n^p)_n\|^q_{q,\frac{1}{w}} </math>,

wobei <math>\tfrac{1}{w}</math> für die aus den Kehrwerten der <math>w_n</math> gebildete Folge von Gewichten steht. Man erhält also einen isometrischen Isomorphismus

<math>\ell^q(w)\rightarrow \ell^q\left(\tfrac{1}{w}\right), (b_n)_n \mapsto (b_n w_n^p)_n</math>.

Kombiniert man diesen mit obigem isometrischen Isomorphismus <math>T</math>, so gelangt man zu<ref>K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968, ISBN 3-540-04226-1, §5.4</ref>:

Es seien <math>(w_n)_n</math> eine Folge von Gewichten, <math>1\le p<\infty</math> und <math>q</math> der zu <math>p</math> konjugierte Exponent. Dann ist

<math>S\colon \ell^q\left(\tfrac{1}{w}\right)\rightarrow \ell^p(w)\,',\ b=(b_n)_n\mapsto S_b,\ S_b((a_n)_n) = \sum_{n\in\N}a_n b_n </math>

ein isometrischer Isomorphismus.

Dieser isometrische Isomorphismus ist gemeint, wenn man

<math>\ell^p(w)\,' \cong \ell^q\left(\tfrac{1}{w}\right) </math>

schreibt. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass dieser nicht der isometrische Isomorphismus aus dem allgemeinen Satz über L^p-Dualität ist, außer wenn alle Gewichte gleich 1 sind.

Einzelnachweise

<references />