Fréchet-Metrik

Fréchet-Metrik (nach Maurice René Fréchet) ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Sie stellt eine Verbindung zwischen Metrik und Norm her.

Definition

Sei <math>V</math> ein beliebiger reeller oder komplexer Vektorraum. Eine Fréchet-Metrik ist eine Funktion <math> \varrho\colon V \to \mathbb{R} </math>, die für <math> x,y \in V </math> folgende Bedingungen erfüllt:

<math> \varrho(x)=\varrho (-x)</math>
<math> \varrho (x)\ge 0</math>, wobei <math>\varrho (x)=0\iff x=0</math>
<math> \varrho (x+y)\le \varrho(x)+\varrho(y)</math>

Das heißt, <math>\varrho</math> ist symmetrisch, nichtnegativ und erfüllt die Dreiecksungleichung.

Beispiele

Jede Norm <math>x\mapsto\|x\|</math> auf <math>V</math> ist eine Fréchet-Metrik, denn <math>\|\cdot\|</math> erfüllt offensichtlich die Bedingungen (2) und (3). Die Gültigkeit von (1) folgt aus der Homogenität von Normen. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Beispielsweise ist für <math> V=\mathbb{R}^n</math> die Fréchet-Metrik
<math style="margin-left:2em">\varrho(x):=\frac{|x|}{1+|x|}</math>
keine Norm, da sie nicht homogen ist.
Ist <math>(p_k)_{k \in \N}</math> eine abzählbare Familie von Halbnormen auf dem Vektorraum <math>V</math> mit der Eigenschaft
<math style="margin-left:2em">

p_k(x) = 0 \,</math> für alle <math> k \in \N \Longrightarrow x = 0, </math>
dann wird durch
<math style="margin-left:2em"> \varrho(x) = \sum_{k\in\mathbb{N}} \frac{1}{2^k}\frac{p_k(x)}{1+p_k(x)} </math>
eine Fréchet-Metrik definiert, die dieselbe Topologie erzeugt wie die Familie von Halbnormen.

Die <math>L^p</math>-Räume für <math>0 < p < 1</math> ausgestattet mit der Fréchet-Metrik
<math style="margin-left:2em">\varrho_p(f) := \int_{\Omega} \left\|f(x)\right\|^p \,\mathrm{d}\mu(x) </math>
sind Beispiele für im Allgemeinen nicht lokalkonvexe Räume.<ref>H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, Kapitel 2. Teilmengen von Funktionenräumen, U2.11, S. 140. </ref>

Anwendungen

Durch eine Fréchet-Metrik kann in einem Vektorraum eine Metrik definiert werden vermöge <math>d(x,y):=\varrho(x-y)</math>. Dass die so definierte Abbildung eine Metrik ist, folgt direkt aus der Definition der Fréchet-Metrik.
Umgekehrt gilt: Jede Metrik <math>d</math> auf einem Vektorraum, die translationsinvariant ist, d. h. <math>d(x+c,y+c)=d(x,y)</math>, entsteht durch genau eine solche Fréchet-Metrik.
Ein (Hausdorffscher) topologischer Vektorraum besitzt genau dann eine Fréchet-Metrik, die seine Topologie erzeugt, wenn er erstabzählbar ist.
Wenn ein (reeller oder komplexer) Vektorraum mit Fréchet-Metrik die zusätzlichen Eigenschaften hat, dass er vollständig ist und dass die Topologie dieses Vektorraums lokalkonvex ist, dann handelt es sich um einen Fréchet-Raum.

Literatur

H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. 4. Aufl., Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-43947-1.

Einzelnachweise