Zählmaß (Maßtheorie)
Das Zählmaß ist in der Mathematik ein spezielles Maß, das Mengen die Anzahl ihrer Elemente zuordnet. Formal lässt sich das Zählmaß auf einem Messraum <math>(\Omega,\mathfrak P(\Omega))</math> definieren, wobei <math>\Omega</math> eine beliebige Menge und <math>\mathfrak P(\Omega)</math> ihre Potenzmenge ist. Ist <math>\Omega</math> eine endliche Menge, so entsteht dabei ein endliches Maß. Es ist genau dann ein σ-endliches Maß, wenn <math>\Omega</math> abzählbar ist.
Definition
Das Zählmaß einer Menge <math>A \subseteq \Omega</math> ist wie folgt definiert:
- <math>
\mu(A)=\begin{cases} \vert A \vert & \text{, falls } A \text{ endlich ist,}\\ +\infty & \text{, falls } A \text{ unendlich ist.} \end{cases} </math>
Beispiele
Über den natürlichen Zahlen, das heißt dem Messraum <math>(\N,\mathfrak P(\N))</math>, entspricht das Zählmaß der Abbildung
- <math>\mu\colon\mathfrak P(\N)\to [0, \infty] \text{, } A\mapsto \sum_{k\in\N} \chi_{A}(k).</math>
Hierbei bezeichnet <math>\chi_A</math> die charakteristische Funktion der Menge <math>A\subseteq\N</math>.
Mit Hilfe des Zählmaßes auf <math>\N</math> lässt sich jede endliche Summe oder unendliche, absolut konvergente Reihe als Lebesgue-Integral darstellen. Insbesondere gilt für jede Abbildung <math>f\colon \N\to\R</math>:
- <math>\sum_{k=1}^\infty f(k)</math> konvergiert absolut <math>\Longleftrightarrow</math> <math>f</math> ist integrierbar bzgl. des Zählmaßes auf <math>\mathfrak P(\mathbb N).</math>
In diesem Fall gilt
- <math>\int_{\N} f \, \mathrm d\mu = \sum_{k=1}^\infty f(k)</math>.
Literatur
- Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. Vieweg, Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 31.
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2, S. 29.