Gleichschenkliges Dreieck

Datei:01 Dreieck gleichschenklig, Einleitungsbild.svg

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten (z. B. <math> a = b </math>). Folglich sind auch die beiden Winkel (rot) gleich groß, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen. Zur vollständigen Bestimmung werden zwei Bestimmungsstücke benötigt, davon zumindest eine Seite.

Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Der der Basis gegenüberliegende Eckpunkt heißt Spitze. Die an der Basis anliegenden Winkel heißen Basiswinkel.

Jedes gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch. Es kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein.<ref name="Köller" />

Schließen die beiden Schenkel, die sich an der Spitze das Dreiecks schneiden, den Winkel <math>\gamma = 36^{\circ} </math> oder den Winkel <math>\gamma = 108^{\circ} </math> ein, so handelt es sich um Goldenes Dreieck. Im ersten Fall ist es ein Goldenes Dreieck erster Art und im zweiten Fall um ein Goldenes Dreieck zweiter Art.

Stimmen sogar die Längen der Basis und der beiden Schenkel überein, so liegt ein gleichseitiges Dreieck vor.

Berechnung und Konstruktion

Mathematische Formeln zum gleichschenkligen Dreieck <math> a = b </math>
Flächeninhalt	<math>A = \frac{c \cdot h_c}{2} \;=\; \frac{c}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2} </math>	Datei:01-Dreieck, gleichschenklig.svg
Flächeninhalt	<math>A = \frac{a^2 \cdot \sin (\gamma)}{2} \; = \; \frac{c^2}{4} \cdot \frac{ \sin(\gamma)}{1-\cos(\gamma)} \; = \; \frac{c^2}{4} \cdot \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right) </math>
Umfang	<math> U = 2\cdot a + c </math>
Seitenlängen	<math> a = b </math>
Seitenlängen	<math> c = 2 \cdot a \cdot \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) = \sqrt{2 \cdot a^2 \cdot (1 - \cos(\gamma))} </math>
Winkel	<math>\alpha = \beta = \arcsin\left(\frac{h_c}{a}\right) </math>
Winkel	<math>\gamma = 180^\circ - 2 \cdot \alpha = 2 \cdot \arcsin\left(\frac{c}{2 \cdot a}\right) = \arccos \left(1 - \frac{c^2}{2 \cdot a^2}\right) </math>
Höhe<ref name="Köller">{{#if:\|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate\|Execute}}\|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}\| \|}}}}{{#if:Jürgen Köller\|Jürgen Köller: }}{{#if:\|{{#if:Gleichschenkliges Dreieck\|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|archivURL\|1={{#invoke:URLutil\|getNormalized\|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|TitelFormat\|titel=Gleichschenkliges Dreieck}}]{{#if:\| ({{{format}}})}}{{#if:Höhe und Radius des Inkreises\| Höhe und Radius des Inkreises{{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|Endpunkt\|titel=Höhe und Radius des Inkreises}}}}}}\|{{#if:https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Gleichschenkliges Dreieck}}}}\|[{{#invoke:URLutil\|getNormalized\|1=https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|TitelFormat\|titel={{#invoke:WLink\|getEscapedTitle\|1=Gleichschenkliges Dreieck}}}}]}}{{#if:\| ({{{format}}}{{#if:Höhe und Radius des Inkreises{{#if: 2019-06-08 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}	1}}}}		)	de	1}}}}\| ;	Höhe und Radius des Inkreises{{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|Endpunkt\|titel=Höhe und Radius des Inkreises}}}}}}}}{{#if:https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen}}	URL ungültig}}}}{{#if:Gleichschenkliges Dreieck\|{{#if:{{#invoke:WLink\|isValidLinktext\|1=Gleichschenkliges Dreieck\|lines=0}}	Linktext ungültig}}}}{{#if: \| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|TitelFormat\|titel={{{werk}}}}}}}{{#if: \| {{{hrsg}}}{{#if: \|,\|{{#if: 2019-06-08 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|;\|,}}}}}}}}{{#if: \| {{#if:{{#invoke:DateTime\|format\|{{{datum}}}\|noerror=1}}	format\|{{{datum}}}\|T._Monat JJJJ}}	failure\|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, `datum={{{datum}}}`\|class=Zitationswartung}} }}{{#if: \|,\|{{#if: 2019-06-08 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|;\|,}}}}}}}}{{#if: \| S. {{{seiten}}}{{#if: \|,\|{{#if: 2019-06-08 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|;\|,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\| {{#if:\|{{#if:\|archiviert\|ehemals}}\|{{#if:\|Archiviert\|Ehemals}}}} {{#if:\|vom\|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: \| am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate\|Execute}}\|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}\|{{{archiv-datum}}}{{#if:69215	;}}}}{{#if: 2019-06-08\| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|abgerufen\|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str\|len\| {{#invoke:DateTime\|format\| 2019-06-08 \|ISO\|noerror=1}} }}	4=im Jahr	7=im	10=am	failure\|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, `abruf=2019-06-08`\|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime\|format\|2019-06-08\|T._Monat JJJJ}}	failure\|1=Vorlage:Internetquelle \| `abruf=`2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:de\|de	1}}}}\|{{#if:Höhe und Radius des Inkreises{{#if: 2019-06-08 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}	1}}}}	(	\| (}} }}{{#ifeq:{{#if:de\|de\|de}}\|de\|\| {{#invoke:Multilingual\|format\|{{{sprache}}}\|slang=!\|split=[%s,]+\|shift=m\|separator=, }}}}{{#if: \|{{#ifeq:{{#if:de\|de\|de}}\|de\|\|, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: {{#if: 2019-06-08 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|\|1}} }}\|{{#if: \|: {{ #if:	„{{ #ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl\|faculty\|}}\|de-ch\|de}}\|{{#if: {{#invoke:templutl\|faculty\|}}\|de-ch\|de}}\|de}} \| de	Vorlage:Str trim	flat}} }}“	faculty\|}}\|de-ch\|de}}\|{{#if: {{#invoke:templutl\|faculty\|}}\|de-ch\|de}}\|de}} \| de	„Vorlage:Str trim“	quote	1={{#if:	flat}}	flat}} }}	faculty\|}}\|de-CH\|de}}	3=1}} }} }}{{#if:	: }}{{#if: \| , deutsch: „“ }})	{{#if:	, deutsch: „“ }})	(deutsch: „“) }} }} }}{{#if: {{{zitat}}}	{{#if:	{{#if: {{{zitat}}}	Vorlage:": `Text=` und `1=` gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}	Vorlage:": `Text=` fehlt }}{{#if: \| {{#if: {{#invoke:Text\|unstrip\|{{{ref}}}}}	Vorlage:": Ungültiger Wert: `ref=`	{{{ref}}} }} }}\|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|{{#if:\|\|{{#ifeq: \| JaKeinHinweis \|{{#switch:	=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen	[1] }} (Seite {{#switch:\|no\|0\|=\|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: \| , festgestellt im {{#invoke:DateTime\|format	F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if:	\| Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}	(Seite {{#switch:\|no\|0\|=\|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: \| , festgestellt im {{#invoke:DateTime\|format	F Y}} }}.) }}{{#switch:	0\|=	#default={{#if:	}} }}{{#invoke:TemplatePar\|check	opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=	cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link	errNS = 0	template = Vorlage:Toter Link	format = @@@	preview = 1 }}{{#if: https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen	isWebURL\|https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen}}	{{#if:	}} }}	{{#if:	{{#if:	}}	{{#if:	}} }} }}{{#if:	format	noerror=1}}	{{#if:	}} }} }}{{#switch: deadurl	deadurl\|=	#default= {{#if:	}} }}\|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen Die nachstehende Seite ist {{#switch:\|no\|0\|=\|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: \| , festgestellt im {{#invoke:DateTime\|format\|\|F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).) {{#if:	\| Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch:	0\|=	#default= {{#if:	}} }}{{#invoke:TemplatePar\|check	all = inline= url=	opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=	cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link	errNS = 0	template = Vorlage:Toter Link	format = @@@	preview = 1 }}{{#if: https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen	isWebURL\|https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen}}	{{#if:	}} }} }}{{#if:	format	noerror=1}}	{{#if:	}} }} }}{{#switch: deadurl	deadurl\|=	#default= {{#if:	}} }}[https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen }}\|{{#switch:	=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen	[2] }} (Seite {{#switch:\|no\|0\|=\|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: \| , festgestellt im {{#invoke:DateTime\|format	F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if:	\| Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}	(Seite {{#switch:\|no\|0\|=\|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if: \| , festgestellt im {{#invoke:DateTime\|format	F Y}} }}.) }}{{#switch:	0\|=	#default={{#if:	}} }}{{#invoke:TemplatePar\|check	opt = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=	cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link	errNS = 0	template = Vorlage:Toter Link	format = @@@	preview = 1 }}{{#if: https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen	isWebURL\|https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen}}	{{#if:	}} }}	{{#if:	{{#if:	}}	{{#if:	}} }} }}{{#if:	format	noerror=1}}	{{#if:	}} }} }}{{#switch:	deadurl\|=	#default= {{#if:	}} }}\|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen Die nachstehende Seite ist {{#switch:\|no\|0\|=\|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if: \| , festgestellt im {{#invoke:DateTime\|format\|\|F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).) {{#if:	\| Vorlage:Toter Link/archivebot }} }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch:	0\|=	#default= {{#if:	}} }}{{#invoke:TemplatePar\|check	all = inline= url=	opt = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=	cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link	errNS = 0	template = Vorlage:Toter Link	format = @@@	preview = 1 }}{{#if: https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen	isWebURL\|https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen}}	{{#if:	}} }} }}{{#if:	format	noerror=1}}	{{#if:	}} }} }}{{#switch:	deadurl\|=	#default= {{#if:	}} }}[https://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm#Gr%C3%B6%C3%9Fen }} }}}}}}}}}}{{#if:\| {{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|archivBot\|stamp={{{archiv-bot}}}\|text={{#if:\|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}} }}}} {{#invoke:TemplatePar\|check	all= url= titel=	opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline=	0 \| Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}}	template= Vorlage:Internetquelle	format=0	preview=1 }}</ref>	<math> h_a = \frac{c}{2 \cdot a} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2} </math>
	<math> h_b = \frac{c}{2 \cdot b} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2} </math>
	<math> h_c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2} </math>
Inkreisradius<ref name="Köller" />	<math>r_i = \frac{c\cdot h_c}{2 \cdot a + c} = \frac{c \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2}}{4 \cdot a + 2 \cdot c}</math>
Umkreisradius	<math>r_u = \frac{a}{2 \cdot \sin(\alpha)} = \frac{c}{2 \cdot \sin(\gamma)} = \frac{a^2}{\sqrt{4 \cdot a^2 - c^2}}</math>

Basiswinkelsatz

Der Basiswinkelsatz besagt, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Basiswinkel, also die Winkel, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen, gleich groß sind. Umgekehrt gilt auch: Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, so sind auch die beiden gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

Zwei Seiten

Im gleichschenkligen Dreieck ist bei gegebenen zwei Seiten das Dreieck nur dann bestimmt, wenn eine der gegebenen Seiten weniger als halb so lang wie die andere. In diesem Fall ist die kurze Seite wegen der Dreiecksungleichung immer die Basis. Dadurch ergibt sich dann indirekt eine Bestimmtheit durch drei gegebene Seiten. Die Winkel können mit Hilfe des Kosinussatzes berechnet werden.

Eine Seite und ein Winkel

Ist ein Winkel gegeben, so lassen sich aus der Beziehung

<math> \textstyle 2\alpha+\gamma=180^\circ</math>

sofort alle übrigen Winkel berechnen. Dadurch kann man das Dreieck nach dem WSW-Fall behandeln. Die fehlenden Seiten können mit dem Sinussatz berechnet werden.

Ausgezeichnete Punkte

Gleichschenklige Dreiecke sind achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse stimmt mit der Höhe, der Mittelsenkrechten (Streckensymmetrale) und der Seitenhalbierenden (Schwerlinie) der Basis und mit der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetrale) des Winkels an der Spitze überein. Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt liegen auf dieser Symmetrieachse.

In einem gleichschenkligen Dreieck, das nicht gleichseitig ist, stimmt die eulersche Gerade also mit der Symmetrieachse überein.

Datei:Isosceles-triangle-more.svg

Gleichschenkliges Dreieck mit

Symmetrieachse
Mittelsenkrechte und Umkreismittelpunkt
Seitenhalbierende und Schwerpunkt
Winkelhalbierende und Inkreismittelpunkt

Siehe auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Sehnenvielecke

Datei:Cyclic pentagon isosceles partition.svg

Ein Sehnenvieleck wird von den Radien seines Umkreises in gleichschenklige Dreiecke zerlegt.

Jedes Sehnenvieleck, das den Mittelpunkt seines Umkreises enthält, kann von den Radien dieses Kreises, die durch seine Eckpunkte verlaufen, in gleichschenklige Dreiecke unterteilt werden. Diese Dreiecke sind gleichschenklig, weil alle Radien eines Kreises gleich lang sind. Diese Zerlegung kann verwendet werden, um eine Formel für den Flächeninhalt des Polygons als Funktion seiner Seitenlängen abzuleiten, auch für Sehnenvielecke, die ihren Umkreismittelpunkt nicht enthalten. Diese Formel verallgemeinert den Satz des Heron für Dreiecke und die Formel von Brahmagupta für Sehnenvierecke.

Polyeder mit gleichschenkligen Dreiecken

Einige besondere Polyeder haben gleichschenklige Dreiecke als Seitenflächen, zum Beispiel regelmäßige Pyramiden und regelmäßige Doppelpyramiden. Die Oberfläche einiger catalanischer Körper besteht aus kongruenten gleichschenkligen Dreiecken. Die genannten Polyeder sind drehsymmetrisch, d. h. sie können durch Drehung um bestimmte Rotationsachsen auf sich selbst abgebildet werden.

Quadratische Pyramide

Quadratische Pyramide
Regelmäßige fünfseitige Pyramide

Regelmäßige fünfseitige Pyramide
Dreiseitige regelmäßige Doppelpyramide

Dreiseitige regelmäßige Doppelpyramide
Quadratische Doppelpyramide

Quadratische Doppelpyramide
Triakistetraeder

Triakistetraeder
Triakisoktaeder

Triakisoktaeder
Tetrakishexaeder

Tetrakishexaeder
Pentakisdodekaeder

Pentakisdodekaeder
Triakisikosaeder

Triakisikosaeder

Siehe auch

Dreieck
Gleichseitiges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck
Spitzwinkliges Dreieck
Stumpfwinkliges Dreieck
Schenkeltransversalensatz (Lehrsatz über gleichschenklige Dreiecke)

Literatur

{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}

Weblinks

[{{canonicalurl:Commons:Category:{{#if:Isosceles triangles|Isosceles triangles|Gleichschenkliges Dreieck}}|uselang=de}} Commons: {{#if:Gleichschenkliges Dreieck|Gleichschenkliges Dreieck|{{#if:Isosceles triangles|Isosceles triangles|{{#invoke:WLink|getArticleBase}}}}}}]{{#switch:1

|X|x= |0|-= |S|s= – Sammlung von Bildern |1|= – Sammlung von Bildern{{#if:

    | {{#switch: {{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}/{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}
        |1/=  und Videos
        |1/1=, Videos und Audiodateien
        |/1=  und Audiodateien}}
    | , Videos und Audiodateien
  }}

|#default= – }}{{#if: Isosceles triangles

   | {{#ifeq: {{#invoke:Str|left|isosceles triangles|9}} 
       | category:

| FEHLER: Ohne Category: angeben!}}}}

Vorlage:Wikidata-Registrierung

{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Isosceles Triangle. In: MathWorld (englisch). {{#if: IsoscelesTriangle | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | IsoscelesTriangle | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}

Einzelnachweise