Sinussatz
In der ebenen und sphärischen Trigonometrie stellt der Sinussatz eine Beziehung zwischen den Winkeln eines Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten her. Er quantifiziert den Ähnlichkeitssatz, wonach Dreiecke, die in den Winkeln übereinstimmen, ähnlich sind.<ref>Alexander Witting: Einführung in die Trigonometrie (= Mathematisch-physikalische Bibliothek. Band 43). Springer, Wiesbaden 1921, S. 21.</ref>
Sinussatz für ebene Dreiecke
In der kürzesten Fassung besagt der Sinussatz: In jedem Dreieck verhalten sich die Längen der Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel:<ref name=":0">Basiswissen Schule Mathematik, 5. bis 10. Klasse. 4. Auflage. Duden Schulbuchverlag, 2010, ISBN 978-3-411-71504-6, S. 261–262.</ref><ref>Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 234.</ref>
- <math>a : b : c = \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma \quad</math> bzw. <math>\quad \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}</math>.
Manchmal wird der Sinussatz in einer erweiterten Fassung formuliert, die zusätzlich eine Beziehung zum Radius <math>R</math> des Umkreises herstellt:<ref>H. S. M. Coxeter: Introduction to Geometry. 2. Auflage. Wiley, 1969, S. 13 (archive.org).</ref><ref>I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 147.</ref>
- <math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2 \cdot R </math>.
Berechnungen im Dreieck mit dem Sinussatz
Die Kongruenzsätze WSW und SWW besagen, dass ein Dreieck durch die Vorgabe von zwei Winkeln und einer Seite vollständig bestimmt ist. Der Sinussatz erlaubt es in diesen Fällen, aus den drei gegebenen Stücken einen weiteren Winkel zu berechnen. Wenn man anschließend auch die übrigen Winkel und Seiten eines Dreiecks ermitteln möchte, kann man zunächst den letzten Winkel über die Winkelsumme von 180° berechnen und dann wahlweise nochmal den Sinussatz oder den Kosinussatz anwenden.
Der Kongruenzsatz SsW besagt, dass ein Dreieck durch die Vorgabe zweier Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel vollständig bestimmt ist. In diesem Fall kann man mithilfe des Sinussatz zunächst einen fehlenden Winkel und dann die fehlende Seite berechnen. Den letzten Winkel berechnet man wieder am zweckmäßigsten über die Winkelsumme im Dreieck. Ein Dreieck ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, wenn zwei Seiten und der der kleineren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben sind (sSW-Fall). Entsprechend führt die Anwendung des Sinussatz zu keinem eindeutigen Ergebnis; hierfür werden weitere Informationen über das Dreieck benötigt.
WSW- und SWW-Fall
Im WSW- und SWW-Fall kann die Verhältnisgleichung des Sinussatz direkt nach der fehlenden Seite aufgelöst werden. Sind z. B. die Seitenlänge <math>a</math> sowie die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> gegeben, so erhält man die Seite <math>b</math> als
- <math>b=\frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \cdot a</math>.
Über den Winkelsummensatz erhält man den fehlenden Winkel <math>\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)</math>. Nun lässt sich der Sinussatz nochmals anwenden, um die letzte fehlende Seite <math>c</math> zu bestimmen:
- <math>c=\frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} \cdot a</math>.
SsW-Fall
Im SsW-Fall löst man die Verhältnisgleichung des Sinussatzes zunächst nach dem Sinus des fehlenden Winkels auf, dessen gegenüberliegende Seite gegeben ist. Sind z. B. die Seitenlängen <math>a</math> und <math>b</math> sowie der Winkel <math>\alpha</math> gegeben (wobei <math>b < a</math>), so erhält man
- <math>\sin \beta = \frac{b \cdot\sin \alpha}a </math>.
Wegen <math>b < a</math> gilt <math>\beta < \alpha</math>, und da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, muss <math>\beta < 90^\circ</math>sein. Somit gibt es genau einen Winkel, der diese Gleichung erfüllt. Diesen liefert der Arkussinus:
- <math>\beta = \arcsin \left(\frac{b\cdot \sin \alpha}{a}\right)</math>.
Mit dem Winkelsummensatz kann man nun den Winkel <math>\gamma</math> berechnen als <math>\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)</math>. Die Seite <math>c</math> erhält man schließlich z. B. durch erneute Anwendung des Sinussatz:
- <math>c = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} \cdot a</math>.
sSW-Fall
Sind zwei Seitenlängen und der Winkel gegenüber der kürzeren Seite gegeben, so gibt meistens zwei Dreiecke, die zu den gegebenen Stücken passen. Sind z. B. die Seitenlängen <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a<b</math> gegeben sowie der Winkel <math>\alpha</math>, so folgt aus dem Sinussatz
- <math>\sin \beta = \frac{b \cdot\sin \alpha}a</math>.
Sowohl <math>\beta_1 = \arcsin \left(\frac{b \cdot\sin \alpha}a \right)</math> als auch <math>\beta_2 = 180^\circ - \beta_1</math> erfüllen diese Gleichung, und im Gegensatz zum SsW-Fall lässt sich <math>\beta_2</math> als Lösung im Allgemeinen nicht ausschließen.
Beweise
Beweis mithilfe von Höhen
Die Aussage über die Verhältnisse der Längen und Sinuswerte lässt sich mithilfe von Höhen beweisen. Dazu wird ein allgemeines Dreieck <math>ABC</math> mit den typischen Bezeichnungen betrachtet. Durch die Höhe <math>h_c</math> von <math>C</math> auf <math>AB</math> werden rechtwinklige Dreiecke erzeugt. Es lassen sich drei Fälle unterscheiden, je nachdem, wo das Lot <math>AB</math> schneidet.<ref name=":0" />
Fall 1: Spitzwinkliges Dreieck
Bei einem spitzwinkligen Dreieck zerlegt die Höhe <math>h_c</math> das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke, in denen man den Sinus von <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> jeweils als Quotient von Gegenkathete und Hypotenuse ausdrücken kann:
- <math>\sin \alpha = \frac{h_c}{b} \quad</math>und <math>\quad \sin \beta = \frac{h_c}{a}</math>.
Auflösen nach <math>h_c</math> und Gleichsetzen ergibt
- <math>a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha</math>.
Dividiert man nun durch <math>\sin \alpha \cdot \sin \beta</math>, so erhält man
- <math>\frac a{\sin \alpha} = \frac b{\sin \beta}</math>
Die Gleichheit mit <math>\tfrac c{\sin \gamma}</math> ergibt sich entsprechend durch Benutzung der Höhe <math>h_a</math> oder <math>h_b</math>.
Fall 2: Rechtwinkliges Dreieck
Bei einem rechtwinkligen Dreieck fällt der Lotfußpunkt von <math>h_c</math> mit dem Eckpunkt <math>A</math> zusammen. Es gilt
- <math>h_c = a\cdot \sin \beta \quad</math>und <math>\quad h_c = b</math>.
Wegen <math>\sin \alpha = 1</math> lässt sich die rechte Gleichung auch schreiben als <math>h_c = b\cdot \sin \alpha</math>. Der restliche Beweis dieses Falls erfolgt analog zu Fall 1.
Fall 3: Stumpfwinkliges Dreieck
Bei einem stumpfwinkligen Dreieck schneidet die Höhe <math>h_c</math> die Gerade <math>AB</math> außerhalb des Dreiecks. Dann gilt (siehe Skizze)
- <math>\sin(180^\circ-\alpha) = \frac{h_c}{b} \quad</math>und <math>\quad \sin \beta = \frac{h_c}{a}</math>.
Durch Auflösen nach <math>h_c</math> und Gleichstellen erhält man
- <math>b \cdot \sin(180^\circ-\alpha) = a \cdot \sin \beta</math>.
Dividieren beider Seiten durch <math>b</math> und <math>\sin\beta</math> ergibt
- <math>\frac {\sin(180^\circ-\alpha)}{\sin \beta} = \frac {a}{b}</math>.
Da für stumpfe Winkel <math>\sin \alpha = \sin (180^\circ-\alpha )</math> gilt, ergibt sich auch bei stumpfen Winkeln
- <math>\frac a{\sin \alpha} = \frac b{\sin \beta}</math>.
Beweis mithilfe des Peripheriewinkelsatzes
Die erweiterte Fassung des Sinussatzes lässt sich mithilfe des Peripheriewinkelsatzes beweisen:<ref>Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie. 2. Auflage. Springer, 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 52.</ref> Auf dem Umkreis des Dreiecks <math>ABC</math> sei <math>D</math> der Punkt, der zusammen mit dem Punkt <math>A</math> einen Durchmesser bildet, sodass die Verbindung von <math>A</math> und <math>D</math> durch den Mittelpunkt des Umkreises verläuft (siehe Abbildung). Dann ist <math>ABD</math> nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt
- <math> \sin \delta = \frac{c}{2 \cdot R} \quad</math>bzw.<math>\quad 2\cdot R = \frac{c}{\sin \delta}</math>
Nach dem Umfangswinkelsatz sind die Umfangswinkel <math> \gamma</math> und <math> \delta</math> über der Seite <math>c</math> gleich groß, also gilt auch <math>\sin \gamma = \sin \delta </math> und somit
- <math>2\cdot R = \frac{c}{\sin \gamma} </math>.
Auf analoge Weise zeigt man <math>2 \cdot R = \frac{a}{\sin \alpha} </math> und <math> 2 \cdot R = \frac{b}{\sin \beta} </math>, womit der Satz bewiesen ist.
Beweis mithilfe von Vektoren
Der Sinussatz lässt sich auch mithilfe der Vektorrechnung beweisen.<ref>Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden: Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra. 4. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2023, ISBN 978-3-662-68366-8, S. 519.</ref> Dazu werden die Seiten des Dreiecks <math>ABC</math> als Vektoren aufgefasst, so dass sich eine Seite als Vektorsumme der anderen Seiten schreiben lässt. Dann wird das Vektorprodukt angewendet. Mit den Rechenregeln für das Vektorprodukt und seiner geometrischen Interpretation erhält man dann den Sinussatz.
Sinussatz für Kugeldreiecke
Für Kugeldreiecke gelten die Gleichungen<ref>Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. 4. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-06730-4, S. 200.</ref>
- <math>\frac{\sin \alpha}{\sin a} = \frac{\sin \beta}{\sin b} = \frac{\sin \gamma}{\sin c}</math>.
Dabei sind <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> die Seiten (Kreisbögen) des Kugeldreiecks und <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> die gegenüberliegenden Winkel auf der Kugeloberfläche.
Beweis
Der Radius der Einheitskugel ist gegeben durch
- <math>OA = OB = OC = 1</math>
Der Punkt <math>D</math> liegt auf dem Radius <math>OB </math> und der Punkt <math>E</math> liegt auf dem Radius <math>OC </math>, sodass <math>\angle ADO = \angle AEO = 90^\circ</math>. Der Punkt <math>A'</math> liegt auf der Ebene <math>OBC</math>, sodass <math>\angle A'DO = \angle A'EO = 90^\circ</math>gilt. Daraus folgt <math>\angle ADA' = \beta</math> und <math>\angle AEA' = \gamma</math>. Weil <math>A'</math> die senkrechte Projektion von <math>A</math> auf die Ebene <math>OBC</math> ist, gilt <math>\angle AA'D = \angle AA'E = 90^\circ</math>. Nach Definition des Sinus gilt
- <math>\sin c = \frac{AD}{OA} = AD
</math>,
- <math>\sin b = \frac{AE}{OA} = AE</math>.
Außerdem ist <math>AA' = AD \cdot \sin \beta = AE \cdot \sin \gamma </math>. Einsetzen ergibt
- <math>\sin c \cdot \sin \beta = \sin b \cdot \sin \gamma</math>.
Entsprechend erhält man <math>\sin b \cdot \sin \alpha = \sin a \cdot \sin \beta</math>, also insgesamt
- <math>\frac{\sin \alpha}{\sin a} = \frac{\sin \beta}{\sin b} = \frac{\sin \gamma}{\sin c}</math>.
Herleitung aus dem Seiten-Kosinussatz
Der Sinussatz für Kugeldreiecke kann auch algebraisch und ohne geometrische Betrachtungen aus dem Seiten-Kosinussatz für Kugeldreiecke hergeleitet werden. Wegen <math>\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha</math> (trigonometrischer Pythagoras) folgt daraus<ref>Sudipto Banerjee: Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors. In: The College Mathematics Journal. Band 35, Nr. 5, 2004, S. 375–381 (archive.org [PDF]).</ref>
- <math>\begin{align}
\sin^2\alpha &= 1 - \cos^2\alpha \\ &= 1 - \left(\frac{\cos a - \cos b \cdot \cos c}{\sin b \cdot \sin c}\right)^2 \\ &= \frac{1 - \cos^2 b}{\sin^2 b} \cdot \frac{1 - \cos^2 c}{\sin^2 c} - \left(\frac{\cos a - \cos b \cdot \cos c}{\sin b \cdot \sin c}\right)^2 \\ &= \frac{(1 - \cos^2 b) \cdot (1 - \cos^2 c) - (\cos a - \cos b \cdot \cos c)^2}{\sin^2 b \cdot \sin^2 c} \\ &= \frac{1 - \cos^2 a - \cos^2 b - \cos^2 c + 2 \cdot \cos a \cdot \cos b \cdot \cos c}{\sin^2 b \cdot \sin^2 c} \\ \end{align}</math> Division der Gleichung durch <math>\sin^2 a</math> und anschließendes Ziehen der Quadratwurzel ergibt
- <math>\begin{align}
\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 a} &= \frac{1 - \cos^2 a - \cos^2 b - \cos^2 c + 2 \cdot \cos a \cdot \cos b \cdot \cos c}{\sin^2 a \cdot \sin^2 b \cdot \sin^2 c} \\ \frac{\sin \alpha}{\sin a} &= \frac{\left(1 - \cos^2 a - \cos^2 b - \cos^2 c + 2 \cdot \cos a \cdot \cos b \cdot \cos c\right)^\frac{1}{2}}{\sin a \cdot \sin b \cdot \sin c} \\ \end{align}</math>
Die rechte Seite der letzten Gleichung ist ebenfalls gleich <math>\frac{\sin \beta}{\sin b}</math> und gleich <math>\frac{\sin \gamma}{\sin c}</math>, weil dort die Variablen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> zyklisch vertauscht werden können. Die Herleitung ist analog wie für <math>\frac{\sin \alpha}{\sin a}</math>. Daraus ergibt sich insgesamt
- <math>\frac{\sin \alpha}{\sin a} = \frac{\sin \beta}{\sin b} = \frac{\sin \gamma}{\sin c}</math>.
Geschichte
Zum Sinussatz äquivalent ist die folgende Aussage: Die Seitenlängen eines Dreiecks sind proportional zu den Längen der Sehnen, die jeweils zum Doppelten des gegenüberliegenden Winkels im Dreieck gehören. Dieser Zusammenhang war dem griechischen Astronomen Ptolemäus im 2. Jahrhundert bekannt und wurde in seinem Almagest gelegentlich verwendet.<ref></ref>
Mit dem Sinussatz verwandte Aussagen erscheinen im astronomischen und trigonometrischen Werk des indischen Mathematikers Brahmagupta (7. Jahrhundert). In seinem Brāhmasphuṭasiddhānta drückt Brahmagupta den Umkreisradius eines Dreiecks als Produkt zweier Seitenlängen, dividiert durch das Doppelte der Höhe zur dritten Seite, aus. Den Sinussatz erhält man daraus, indem man die Höhe durch eine Dreiecksseite und den Sinus eines Innenwinkels ausdrückt und das Ergebnis einsetzt.<ref></ref><ref></ref> Eine Gleichung, die dem modernen Sinussatz näherkommt, erscheint in Brahmaguptas Khaṇḍakhādyaka, im Zusammenhang mit einem Verfahren zur Ermittlung des Abstands zwischen der Erde und einem Planeten mithilfe eines Epizykels; Brahmagupta betrachtete jedoch den Sinussatz nicht als eigenständiges Thema und verwendete ihn auch nicht systematisch für Dreiecksberechnungen.<ref></ref><ref></ref>
Der Sinussatz für Kugeldreiecke wird manchmal den im 10. Jahrhundert lebenden Wissenschaftlern Abu Mahmud al-Chudschandi (Khujandi) oder Abū al-Wafāʾ zugeschrieben (er erscheint in dessen Almagest), aber er wird hervorgehoben in der Abhandlung über die Bestimmung sphärischer Bögen von Abu Nasr Mansur. Sein Schüler al-Bīrūnī schrieb ihm in seinem Werk Schlüssel zur Astronomie den Satz zu.<ref></ref><ref></ref> Ibn Muʿādh al-Jayyānīs Buch der unbekannten Bögen einer Kugel aus dem 11. Jahrhundert enthält ebenfalls den sphärischen Sinussatz.<ref name="MacTutor Al-Jayyani">John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani. In: {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:153: attempt to index field 'data' (a nil value) (englisch).</ref>
Im 13. Jahrhundert formulierte und bewies der persische Mathematiker Nasīr ad-Dīn at-Tūsī (al-Tusi) den Sinussatz für ebene Dreiecke:<ref>John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Nasir al-Din al-Tusi. In: {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:153: attempt to index field 'data' (a nil value) (englisch).</ref>
In einem ebenen Dreieck ist das Verhältnis der Seiten gleich dem Verhältnis der Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel.
In heutiger Schreibweise: <math>|\overline{AB}| : |\overline{AC}| = \sin(\angle ACB) : \sin(\angle CBA)</math>
Durch Anwendung des Sinussatzes konnte al-Tusi Berechnungen für Dreiecke durchführen, bei denen entweder eine Seite und zwei Winkel oder zwei Seiten und der Gegenwinkel einer der beiden Seiten bekannt waren. Waren zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben, zerlegte er das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke, um die Aufgabe zu lösen. Waren drei Seiten gegeben, fällte er ein Lot auf eine Seite und wandte dann Satz II-13 aus Euklids Elementen an (eine elementargeometrische Version des Kosinussatzes). Al Tusi stellte das wichtige Ergebnis auf, dass aus der Summe oder Differenz zweier Kreisbogenlängen und dem Verhältnis der entsprechenden Sinuswerte die Bogenlängen selbst berechnet werden können.<ref></ref>
Laut Glen Van Brummelen bildete für den deutschen Mathematiker Regiomontanus (15. Jahrhundert) der Sinussatz die Grundlage für seine Berechnungen zu rechtwinkligen Dreiecken in Buch IV. Diese Lösungen waren wiederum die Basis für seine Behandlung allgemeiner Dreiecke.<ref></ref>
Siehe auch
Literatur
- Manfred Leppig (Hrsg.): Lernstufen Mathematik. 1. Auflage, 4. Druck. Girardet, Essen 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 189–190.
- H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. Mathematical Association of America, Washington, D.C. 1967, S. 1–3.
- Alexander Witting: Einführung in die Trigonometrie (= Mathematisch-physikalische Bibliothek. Band 43). Springer, Wiesbaden 1921, S. 20–27.
- Glen Van Brummelen: Trigonometry: A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2020, S. 63–68.
Weblinks
- Der Sinussatz – Satz, Beweis, Illustrationen auf der Homepage von Arndt Brünner
- Eric W. Weisstein: Law of Sines. In: MathWorld (englisch).
Einzelnachweise
<references />