Eulersche Gerade
Höhenschnittpunkt H (rot),
Schwerpunkt S (grün, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden),
Umkreismittelpunkt U (blau, Schnittpunkt der Mittelsenkrechten),
Feuerbachkreis mit Mittelpunkt N (schwarz)
Die eulersche Gerade oder Euler-Gerade ist eine spezielle Gerade eines nicht-gleichseitigen Dreiecks. Auf ihr liegen u. a. der Schwerpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Höhenschnittpunkt des gegebenen Dreiecks. Sie ist benannt nach Leonhard Euler. Dieser veröffentlichte 1763 die Erkenntnis, dass die genannten drei Punkte kollinear sind, also auf einer Geraden liegen.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Auch der Mittelpunkt des Feuerbachkreises<ref name="Koecher-Krieg">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> und viele weitere ausgezeichnete Dreieckspunkte liegen auf der eulerschen Geraden. Für das allgemeine Tetraeder im dreidimensionalen Raum gibt es den analogen Begriff (s. u.).
Eigenschaften
Grundlegende Aussagen
In einem Dreieck liegen der Schwerpunkt S, der Höhenschnittpunkt H und der Umkreismittelpunkt U auf einer gemeinsamen Geraden, der Euler-Geraden. Da der Mittelpunkt des Feuerbachkreises N zugleich der Mittelpunkt der Strecke HU ist, liegt dieser ebenfalls auf der Euler-Geraden. Darüber hinaus gelten für diese vier Punkte die Aussagen <math>|HU| = 3 |SU| = 6 |NS|</math>, <math>|HS| = 4 |NS|</math>, <math>|HN| = 3 |NS|</math>, <math>|NU| = 3 |NS|</math> und <math>|SU| = 2 |NS|</math>.
Für die Ortsvektoren der vier Punkte S, H, U und N gelten die folgenden Gleichungen:<ref name="Koecher-Krieg" />
- <math>3\vec{S}=\vec{H}+2\vec{U}</math> (Euler-Gleichung)
- <math>3\vec{S}=\vec{U}+2\vec{N}</math> (Feuerbach-Gleichung)
Beweisidee
Die Aussagen lassen sich elementargeometrisch begründen durch eine zentrische Streckung mit dem Zentrum S und dem Streckfaktor <math>-\tfrac{1}{2}</math>. Bei dieser Abbildung werden die Ecken des gegebenen Dreiecks auf die Seitenmittelpunkte abgebildet. Die Höhen gehen in die Mittelsenkrechten über, folglich auch der Höhenschnittpunkt in den Umkreismittelpunkt. Das Bild des Umkreises bezüglich dieser zentrischen Streckung ist der Feuerbachkreis.
Sonderfälle
In einem gleichschenkligen Dreieck stimmt die eulersche Gerade mit der zur Basis gehörigen Seitenhalbierenden (Mittelsenkrechten, Höhe, Winkelhalbierenden) überein. Im Falle eines gleichseitigen Dreiecks kann man nicht mehr von der eulerschen Geraden sprechen, weil dann die drei bestimmenden Punkte S, U und H zu einem Punkt zusammenfallen. (Sonst könnte ja jede Gerade durch diesen einen Punkt als eulersche Gerade aufgefasst werden, was man aber der Eindeutigkeit halber vermeidet.) Ist ein Dreieck rechtwinklig, so stimmt die eulersche Gerade mit der zur Hypotenuse gehörigen Seitenhalbierenden überein, da sich in diesem Fall die Mittelsenkrechten auf der Hypotenuse schneiden.
Weitere Eigenschaften
Auf der eulerschen Geraden des Dreiecks ABC liegt auch der Umkreismittelpunkt <math>X_{26}</math> des Tangentendreiecks (also des Dreiecks, das von den Tangenten an den Umkreis in den Punkten A, B und C gebildet wird).<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Clark Kimberling|Clark Kimberling: }}{{#if:|{{#if:Enyclopedia of Triangle Centers|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Enyclopedia of Triangle Centers}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X26%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Enyclopedia of Triangle Centers}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X26}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Enyclopedia of Triangle Centers}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2025-01-18 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
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Der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks liegt auf der eulerschen Gerade genau dann, wenn das Dreieck gleichschenklig ist.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Darstellung
In baryzentrischen Koordinaten <math>(x : y : z)</math> ausgedrückt, lautet die Gleichung der eulerschen Geraden (gleichwertig)
- <math>(b^2 - c^2) (b^2 + c^2 - a^2) \, x + (c^2 - a^2) (c^2 + a^2 - b^2) \, y + (a^2 - b^2) (a^2 + b^2 - c^2) \, z = 0,</math><ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Sava Grozdev, Deko Dekov|Sava Grozdev, Deko Dekov: }}{{#if:|{{#if:Barycentric Coordinates: Formula Sheet|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Barycentric Coordinates: Formula Sheet}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.journal-1.eu/2016-2/Grozdev-Dekov-Barycentric-Coordinates-pp.75-82.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Barycentric Coordinates: Formula Sheet}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.journal-1.eu/2016-2/Grozdev-Dekov-Barycentric-Coordinates-pp.75-82.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Barycentric Coordinates: Formula Sheet}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2025-01-18 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
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- <math>(\sin(2\gamma) - \sin(2\beta)) \, x + (\sin(2\alpha) - \sin(2\gamma)) \, y + (\sin(2\beta) - \sin(2\alpha)) \, z = 0</math>
oder
- <math>(\tan\gamma - \tan\beta) \, x + (\tan\alpha - \tan\gamma) \, y + (\tan\beta - \tan\alpha) \, z = 0.</math>
Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.
Tetraeder
Für ein allgemeines Tetraeder <math> \mathcal{T} \subset \R^3 </math> nennt man (in Analogie zum zweidimensionalen Fall des Dreiecks) die eulersche Gerade oder Euler-Gerade von <math> \mathcal{T} </math> diejenige Gerade <math> e(\mathcal{T}) \subset \R^3 </math>, welche den Schwerpunkt <math> S({\mathcal{T}}) </math> von <math> \mathcal{T} </math> und den Mittelpunkt <math> U({\mathcal{T}}) </math> der Umkugel von <math> \mathcal{T} </math> verbindet.<ref> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref>
Literatur
- Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 162–166
- {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
Weblinks
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Euler Line. In: MathWorld (englisch). {{#if: EulerLine | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | EulerLine | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
- Heinz Theo Lutstorf: Die Euler-Gerade und ihre ursprüngliche Herleitung. Betrachtungen zu Eulers Urtext - eine Studie in klassischer Algebra. 1. Dezember 2012
Einzelnachweise
<references />
Kategorien:
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:URL
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:Linktext
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:Datum
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:"
- Wikipedia:Weblink offline fix-attempted
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link/URL fehlt
- Wikipedia:Wikidata P2812 verschieden
- Wikipedia:Wikidata P2812 fehlt
- Geometrie
- Dreiecksgeometrie
- Leonhard Euler als Namensgeber