Longchamps-Punkt

Datei:Longchamps punkt.svg

Longchamps-Punkt L

Der Longchamps-Punkt (Punkt von De Longchamps), benannt nach dem französischen Mathematiker Gohierre de Longchamps (1842–1906), gehört zu den ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks. Er ist definiert als der Spiegelpunkt (L) des Höhenschnittpunkts (H) am Umkreismittelpunkt (U).<ref>Eric W. Weisstein: de Longchamps Point. In: MathWorld (englisch). </ref>

Eigenschaften

• Der Longchamps-Punkt liegt auf der eulerschen Geraden.<ref name="ETC-X20">Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(20). Abgerufen am 27. Januar 2025 (). </ref>
• Der Longchamps-Punkt liegt mit dem Gergonne-Punkt und dem Inkreismittelpunkt auf einer Geraden, nämlich der Soddy-Geraden.<ref>Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 162. </ref>

Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten des Longchamps-Punkts (<math>X_{20}</math>) sind

<math>(\cos\alpha - \cos\beta \cos\gamma) \, : \, (\cos\beta - \cos\gamma \cos\alpha) \, : \, (\cos\gamma -\cos\alpha \cos\beta).</math><ref name="ETC-X20" />

Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)

<math>(\tan\beta + \tan\gamma -\tan\alpha) \,: \, (\tan\gamma+\tan\alpha-\tan\beta) \,: \, (\tan\alpha+\tan\beta-\tan\gamma)</math> oder

<math>f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)</math> mit <math>f(a,b,c) = 2 a^2 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 3 a^4.</math><ref name="ETC-X20" />

Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.

Literatur

• A. Vandeghen: Soddy's Circles and the De Longchamps Point of a Triangle. The American Mathematical Monthly, Band 71, Nr. 2 (Feb., 1964), S. 176–179 ()

Weblinks

• Eric W. Weisstein: de Longchamps Point. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

<references />