Longchamps-Punkt
Der Longchamps-Punkt (Punkt von De Longchamps), benannt nach dem französischen Mathematiker Gohierre de Longchamps (1842–1906), gehört zu den ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks. Er ist definiert als der Spiegelpunkt (L) des Höhenschnittpunkts (H) am Umkreismittelpunkt (U).<ref>{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: de Longchamps Point. In: MathWorld (englisch). {{#if: deLongchampsPoint | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | deLongchampsPoint | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}</ref>
Eigenschaften
- Der Longchamps-Punkt liegt auf der eulerschen Geraden.<ref name="ETC-X20">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Clark Kimberling|Clark Kimberling: }}{{#if:|{{#if:Enyclopedia of Triangle Centers, X(20)|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(20)}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X20%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Enyclopedia of Triangle Centers, X(20)}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X20}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Enyclopedia of Triangle Centers, X(20)}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2025-01-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
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- Der Longchamps-Punkt liegt mit dem Gergonne-Punkt und dem Inkreismittelpunkt auf einer Geraden, nämlich der Soddy-Geraden.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Koordinaten
Die trilinearen Koordinaten des Longchamps-Punkts (<math>X_{20}</math>) sind
- <math>(\cos\alpha - \cos\beta \cos\gamma) \, : \, (\cos\beta - \cos\gamma \cos\alpha) \, : \, (\cos\gamma -\cos\alpha \cos\beta).</math><ref name="ETC-X20" />
Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)
- <math>(\tan\beta + \tan\gamma -\tan\alpha) \,: \, (\tan\gamma+\tan\alpha-\tan\beta) \,: \, (\tan\alpha+\tan\beta-\tan\gamma)</math> oder
- <math>f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)</math> mit <math>f(a,b,c) = 2 a^2 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 3 a^4.</math><ref name="ETC-X20" />
Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.
Literatur
- A. Vandeghen: Soddy's Circles and the De Longchamps Point of a Triangle. The American Mathematical Monthly, Band 71, Nr. 2 (Feb., 1964), S. 176–179 ({{#invoke:JSTOR|f|1=2311750}}{{#if:
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Weblinks
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: de Longchamps Point. In: MathWorld (englisch). {{#if: deLongchampsPoint | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | deLongchampsPoint | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Einzelnachweise
<references />
Kategorien:
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- Wikipedia:Wikidata P2812 fehlt
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- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:"
- Wikipedia:Weblink offline fix-attempted
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link/URL fehlt
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:JSTOR
- Ausgezeichnete Punkte im Dreieck