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Gergonne-Punkt

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Datei:Triangle-gergonne-point.svg
Gergonne-Punkt G

Der Gergonne-Punkt eines Dreiecks (benannt nach dem französischen Mathematiker Joseph Diez Gergonne) ist ein ausgezeichneter Punkt im Inneren eines Dreiecks. Er hat die Kimberling-Nummer <math>X_7</math>.

Definition

Der Inkreis eines Dreiecks <math>ABC</math> berühre die Seiten des Dreiecks in den Punkten <math>X</math>, <math>Y</math> und <math>Z</math>. Gergonne zeigte, dass sich die drei Verbindungsstrecken zwischen diesen Berührungspunkten und der jeweils gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks in einem Punkt, dem Gergonne-Punkt <math>G</math>, schneiden.<ref name="Grundmann-Gergonnepunkt">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Das Dreieck <math>XYZ</math> wird als Gergonne-Dreieck bezeichnet.

Dass sich diese drei Strecken in einem Punkt schneiden, folgt aus der Gleichheit von Tangentenabschnitten (<math>\overline{AZ} = \overline{AY}</math>, <math>\overline{BX} = \overline{BZ}</math>, <math>\overline{CY} = \overline{CX}</math>) und dem Satz von Ceva.

Eigenschaften

Datei:Gergonne mitten schwerpunkt.svg
Gemeinsame Gerade g von Gergonne-Punkt G, Mittenpunkt M und Schwerpunkt S
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Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten des Gergonne-Punkts (<math>X_7</math>) sind (gleichwertig)

<math>\frac{bc}{b+c-a} \, : \, \frac{ca}{c+a-b} \, : \, \frac{ab}{a+b-c}</math> oder
<math>\sec^2\frac{\alpha}{2} \, : \, \sec^2\frac{\beta}{2} \, : \, \sec^2\frac{\gamma}{2}.</math><ref name="ETC-X7" />

Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)

<math>\frac{1}{b+c-a} \, : \, \frac{1}{c+a-b} \, : \, \frac{1}{a+b-c}</math> oder
<math>\tan\frac{\alpha}{2} : \tan\frac{\beta}{2} : \tan\frac{\gamma}{2}.</math><ref name="ETC-X7" />

Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.

Literatur

  • Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv, 71, 1987, 2, S. 230–233.
  • Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S. 78.

Weblinks

Einzelnachweise

<references /> fr:Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle#Point de Gergonne en:Gergonne Point

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