Zum Inhalt springen

Mittenpunkt

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Der Mittenpunkt (nicht zu verwechseln mit Mittelpunkt) ist einer der besonderen Punkte eines Dreiecks. Man erhält ihn dadurch, dass man die Mittelpunkte der drei Ankreise des gegebenen Dreiecks mit den zugehörigen Seitenmittelpunkten verbindet.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Die so entstandenen Verbindungsgeraden schneiden sich im Mittenpunkt. Bewiesen wurde diese Eigenschaft 1836 von dem deutschen Mathematiker Christian Heinrich von Nagel.

Datei:Mittenpunkt.svg
Dreieck ABC mit Mittenpunkt M (rot), Seitenmittelpunkten (Ma, Mb, Mc) und Ankreismittelpunkten (JA, JB, JC)

Eigenschaften

  • Der Mittenpunkt ist zugleich der Lemoine-Punkt des Dreiecks, das durch die drei Ankreismittelpunkte bestimmt ist.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt" />
  • Der Mittenpunkt liegt mit dem Inkreismittelpunkt und dem Lemoine-Punkt auf einer Geraden.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt" />
  • Der Mittenpunkt liegt mit dem Schwerpunkt und dem Gergonne-Punkt auf einer Geraden.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt" />
  • Der Mittenpunkt liegt mit dem Höhenschnittpunkt und dem Spieker-Punkt auf einer Geraden.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt" />
  • Der Mittenpunkt ist der Mittelpunkt der Mandart-Inellipse.<ref name="Grundmann-Mittenpunkt" />

Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten des Mittenpunkts (<math>X_9</math>) sind (gleichwertig)

<math>(b+c-a) \, : \, (c+a-b) \, : \, (a+b-c)</math> oder
<math>\cot\frac{\alpha}{2} \, : \, \cot\frac{\beta}{2} \, : \, \cot\frac{\gamma}{2}</math>.<ref name="ETC-X9">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Clark Kimberling|Clark Kimberling: }}{{#if:|{{#if:Enyclopedia of Triangle Centers|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Enyclopedia of Triangle Centers}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Enyclopedia of Triangle Centers}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Enyclopedia of Triangle Centers}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2025-01-22 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
          | )
          | {{#if:{{#ifeq:de|de||{{#if:|1}}}}| ; 
              | )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9}}%7C%7C}}}}{{#if:Enyclopedia of Triangle Centers|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Enyclopedia of Triangle Centers|lines=0}}||}}}}{{#if: | In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{{werk}}}}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: |,|{{#if: 2025-01-22 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|noerror=1}}
            |{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|T._Monat JJJJ}}
            |{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum={{{datum}}}|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2025-01-22 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2025-01-22 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:422279||(?)}}}}}}{{#if: 2025-01-22|;}}}}{{#if: 2025-01-22| {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2025-01-22 |ISO|noerror=1}} }}
       |4=im Jahr
       |7=im
       |10=am
       |#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2025-01-22|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2025-01-22|T._Monat JJJJ}}
    | {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:de|de||{{#if:|1}}}}|{{#if:{{#if: 2025-01-22 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
       |  (
       | {{#if: | |  (}}
       }}{{#ifeq:{{#if:de|de|de}}|de||
          {{#invoke:Multilingual|format|{{{sprache}}}|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:de|de|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: {{#if: 2025-01-22 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}} }}|{{#if: |: {{
 #if: 
 | „{{
     #ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
     | Vorlage:Str trim
     | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
     }}“
 | {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
     | „Vorlage:Str trim“
     | {{#invoke:Text|quote
         |1={{#if: 
              | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
              | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
         |2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
         |3=1}} }}

}}{{#if: 

   |  (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if:  | :  }}{{#if:  | , deutsch: „“ }})
   | {{#if: 
       |  ({{#if:  | , deutsch: „“ }})
       | {{#if:  |  (deutsch: „“) }}
 }}

}}{{#if: {{{zitat}}} 

   | {{#if: 
       | {{#if: {{{zitat}}}
           | Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
   | Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if:  | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
             | Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
             | {{{ref}}} }}

}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch: 

   |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9
       | {{#if:  | [1] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if: 
           | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}
       |   (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.)
     }}{{#switch: 
         |no|0|=
         |#default={{#if:  ||  }}
    }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |opt      = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
    }}{{#if: https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9
      | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
      | {{#if: 
           | {{#if:  ||  }}
           | {{#if:  ||  }}
        }}
    }}{{#if: 
       | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
         }}
    }}{{#switch: deadurl
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9 Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).)  {{#if: 
            | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: 
          |no|0|=
          |#default= {{#if:  ||  }}
        }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |all      = inline= url=
         |opt      = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
       }}{{#if: https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9
       | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
    }}{{#if: 
         | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
           }}
    }}{{#switch: deadurl
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}[https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9 }}|{{#switch: 
   |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9
       | {{#if:  | [2] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if: 
           | {{#if:  | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}
       |   (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.)
     }}{{#switch: 
         |no|0|=
         |#default={{#if:  ||  }}
    }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |opt      = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
    }}{{#if: https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9
      | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
      | {{#if: 
           | {{#if:  ||  }}
           | {{#if:  ||  }}
        }}
    }}{{#if: 
       | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
         }}
    }}{{#switch: 
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9 Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).)  {{#if: 
            | {{#if:  | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: 
          |no|0|=
          |#default= {{#if:  ||  }}
        }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |all      = inline= url=
         |opt      = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
       }}{{#if: https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9
       | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
    }}{{#if: 
         | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
           }}
    }}{{#switch: 
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}[https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X9 }} }}}}}}}}}}{{#if:|
        {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}

}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref>

Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)

<math>a(b+c-a) \, : \, b(c+a-b) \, : \, c(a+b-c)</math> oder
<math>(1 + \cos\alpha) : (1 + \cos\beta) : (1 + \cos\gamma)</math>.<ref name="ETC-X9" />

Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.

Weblinks

Einzelnachweise

<references />

Abgerufen von „https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Mittenpunkt&oldid=422279“